Тау-число
Тау-число ([math]\displaystyle{ \tau }[/math]-число, англ. refactorable number) — целое число [math]\displaystyle{ n }[/math], делящееся на число своих делителей, или, выражаясь алгебраически, такое [math]\displaystyle{ n }[/math], что [math]\displaystyle{ \tau(n)|n }[/math]. Первые несколько тау-чисел[1]:
Например, 18 имеет шесть делителей (1 и 18, 2 и 9, 3 и 6) и делится на 6.
Тау-числа имеют асимптотическую плотность нуль. Никакие три последовательных целых числа не могут быть тау-числами[2] Колтон доказал, что ни одно тау-число не является совершенным. Уравнение [math]\displaystyle{ (n, x) = \tau (n) }[/math] (где [math]\displaystyle{ (n, x) }[/math] — наибольший общий делитель [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ x }[/math]) имеет решение только в случае, если [math]\displaystyle{ n }[/math] — тау-число.
Остаются нерешёнными несколько проблем относительно тау-чисел:
- существуют ли сколь угодно большие [math]\displaystyle{ n }[/math], для которых и [math]\displaystyle{ n }[/math], и [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] являются тау-числами
- если существует тау-число [math]\displaystyle{ n_0 \equiv a \pmod m }[/math], следует ли из этого, что существует [math]\displaystyle{ n \gt n_0 }[/math], такое что [math]\displaystyle{ n }[/math] является тау-числом и [math]\displaystyle{ n \equiv a \pmod m }[/math].
Тау-числа были впервые определены Кёртисом Купером[англ.] и Робертом Кеннеди в 1990 году[3], установившими, что тау-числа имеют нулевую асимптотическую плотность. Позднее они были переоткрыты Саймоном Колтоном (Simon Colton) с помощью программы, которую он написал для изобретения и проверки различных определений в теории чисел и теории графов[4]. Колтон назвал эти числа англ. refactorable. Хотя компьютерные программы и обнаруживали доказательства ранее, это был первый случай, когда программа нашла новую или ранее незамеченную идею. Колтон доказал много результатов о тау-числах, показав бесконечность их числа и несколько условий их распределения.
Примечания
- ↑ последовательность A033950 в OEIS
- ↑ J. Zelinsky, Tau Numbers: A Partial Proof of a Conjecture and Other Results Архивная копия от 11 ноября 2020 на Wayback Machine // Journal of Integer Sequences, Vol. 5 (2002), Article 02.2.8
- ↑ Cooper, C.N. and Kennedy, R. E. Tau Numbers, Natural Density, and Hardy and Wright’s Theorem 437 // Internat. J. Math. Math. Sci. 13, 383—386, 1990
- ↑ S. Colton, Refactorable Numbers — A Machine Invention Архивная копия от 27 июля 2020 на Wayback Machine // Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), Article 99.1.2