Числа Якобсталя

Числа Якобсталя — целочисленная последовательность, названная в честь немецкого математика Э. Э. Якобсталя.

Числа Якобсталя

Как и числа Фибоначчи, числа Якобсталя — одна из последовательностей Люка

[math]\displaystyle{ U_n(P,Q), }[/math]

для которой P = 1 и Q = −2. Последовательность начинается с чисел

0, 1, 1, 3, 5, 11, 21, 43, 85, 171, 341, 683, 1365, 2731, 5461, 10 923, 21 845, 43 691, 87 381, 174 763, 349 525, …

Числа Якобсталя определяются рекуррентным отношением

[math]\displaystyle{ J_n = \begin{cases} 0, & n = 0; \\ 1, & n = 1; \\ J_{n-1} + 2J_{n-2}, & n \gt 1. \\ \end{cases} }[/math]

Другие варианты рекуррентного задания последовательности:

• [math]\displaystyle{ J_{n+1} = 2J_n + (-1)^n }[/math]
• [math]\displaystyle{ J_{n+1} = 2^n - J_n }[/math]

Число Якобсталя с заданным номером можно вычислить с помощью формулы

[math]\displaystyle{ J_n = \frac{2^n - (-1)^n} 3. }[/math]

Числа Якобсталя-Люка

Числа Якобсталя-Люка представляют собой последовательность Люка [math]\displaystyle{ V_n(1,-2) }[/math]. Они удовлетворяют тем же рекуррентным отношениям, что и числа Якобсталя, но отличаются начальными значениями:

[math]\displaystyle{ j_n = \begin{cases} 2, & n = 0; \\ 1, & n = 1; \\ j_{n-1} + 2j_{n-2}, & n \gt 1. \\ \end{cases} }[/math]

Альтернативная формула:

[math]\displaystyle{ j_{n+1} = 2j_n - 3(-1)^n. }[/math]

Число Якобсталя-Люка с заданным номером можно вычислить с помощью формулы

[math]\displaystyle{ j_n = 2^n + (-1)^n. }[/math]

Последовательность Якобсталя-Люка начинается с чисел

2, 1, 5, 7, 17, 31, 65, 127, 257, 511, 1025, 2047, 4097, 8191, 16 385, 32 767, 65 537, 131 071, 262 145, 524 287, 1 048 577, …

Литература

• A. F. Horadam. Jacobsthal representation numbers (англ.) (May 1994).
• Paul Barry. Triangle Geometry and Jacobsthal Numbers (англ.), Irish Math. Soc. Bulletin (April 2003).
• Zvonko Čerin. Sums of Squares and Products of Jacobsthal Numbers (англ.), Journal of Integer Sequences.

Ссылки

• Последовательность A049883 в OEIS: простые числа Якобсталя