Число Моцкина
Число Моцкина для данного числа n — это количество возможных вариантов соединения n различающихся точек на окружности непересекающимися хордами (хорды могут выходить не из каждой точки). Числа Моцкина названы в честь Теодора Моцкина[англ.] и имеют множества проявлений в геометрии, комбинаторике и теории чисел.
Числа Моцкина [math]\displaystyle{ M_n }[/math] для [math]\displaystyle{ n = 0, 1, \dots }[/math] формируют последовательность:
- 1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, 323, 835, 2188, 5798, 15511, 41835, 113634, 310572, 853467, 2356779, 6536382, 18199284, 50852019, 142547559, 400763223, 1129760415, 3192727797, 9043402501, 25669818476, 73007772802, 208023278209, 593742784829, ... последовательность A001006 в OEIS
Примеры
Приведенные фигуры демонстрируют 9 способов соединить 4 точки на окружности непересекающимися хордами:
А эти показывают 21 способ соединить 5 точек:
Свойства
Числа Моцкина удовлетворяют рекуррентным соотношениям
- [math]\displaystyle{ M_{n}=M_{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}M_iM_{n-2-i}=\frac{2n+1}{n+2}M_{n-1}+\frac{3n-3}{n+2}M_{n-2}. }[/math]
Числа Моцкина могут быть выражены через биномиальные коэффициенты и числа Каталана:
- [math]\displaystyle{ M_n=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \binom{n}{2k} C_k. }[/math]
Простое число Моцкина - это число Моцкина, которое является простым, таких известно четыре:
Интерпретации в комбинаторике
Число Моцкина для n также является количеством положительных целых последовательностей длины n-1, в которых начальный и конечный элементы равны 1 или 2, а разность между любыми двумя последовательными элементами равна -1, 0 или 1.
Также число Моцкина для n задает количество маршрутов из точки (0, 0) до точки (n, 0) за n шагов, если разрешено перемещаться только вправо (вверх, вниз или прямо) на каждом шагу, и запрещается опускаться ниже оси y = 0.
Например, на следующем рисунке показаны 9 допустимых путей Моцкина от (0, 0) до (4, 0):
Существует по меньшей мере четырнадцать различных проявлений чисел Моцкина в разных областях математики, которые перечислили Донаги и Шапиро в (1977) в своём обзоре чисел Моцкина.
Гвиберт, Пергола и Пинзани в (2001) показали, что везикулярные инволюции перечислены числами Моцкина.
См. также
Ссылки
- Bernhart, Frank R. (1999), Catalan, Motzkin, and Riordan numbers, Discrete Mathematics Т. 204 (1-3): 73–112, DOI 10.1016/S0012-365X(99)00054-0
- Donaghey, R. & Shapiro, L. W. (1977), Motzkin numbers, Journal of Combinatorial Theory, Series A Т. 23 (3): 291–301, DOI 10.1016/0097-3165(77)90020-6
- Guibert, O.; Pergola, E. & Pinzani, R. (2001), Vexillary involutions are enumerated by Motzkin numbers, Annals of Combinatorics Т. 5 (2): 153–174, ISSN 0218-0006, DOI 10.1007/PL00001297
- Motzkin, T. S. (1948), Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products, Bulletin of the American Mathematical Society Т. 54 (4): 352–360, DOI 10.1090/S0002-9904-1948-09002-4
Внешние ссылки
- Weisstein, Eric W. Motzkin Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
