Простое число Вольстенхольма

В теории чисел простым числом Вольстенхольма называется всякое простое число, удовлетворяющее усиленному сравнению из теоремы Вольстенхольма. При этом исходному сравнению из теоремы Вольстенхольма удовлетворяют все простые числа, кроме 2 и 3. Простые Вольстенхольма названы в честь математика Джозефа Вольстенхольма, который первым доказал теорему в XIX веке.

Интерес к этим простым возник по причине их связи с великой теоремой Ферма.

Известны только два простых числа Вольстенхольма — это 16843 и 2124679 (последовательность A088164 в OEIS). Других простых чисел Вольстенхольма, меньших 10⁹, нет.

Определения

Нерешённые проблемы математики: Имеются ли простые числа Вольстенхольма, отличные от 16843 и 2124679?

Простое число Вольстенхольма может быть определено несколькими эквивалентными путями.

Через биномиальные коэффициенты

Простое число Вольстенхольма — это простое число, удовлетворяющее сравнению

[math]\displaystyle{ {2p \choose p} \equiv 2 \pmod{p^4}, }[/math]

где выражение в левой части обозначает биномиальный коэффициент. Сравните с теоремой Вольстенхольма, которая утверждает, что для любого простого p > 3 выполняется следующее сравнение:

[math]\displaystyle{ {2p \choose p} \equiv 2 \pmod{p^3}. }[/math]

Через числа Бернулли

Простое число Вольстенхольма — это простое число p, делящее (без остатка) числитель числа Бернулли B_p−3. Таким образом, простые числа Вольстенхольма представляют собой подмножество иррегулярных простых чисел.

Через иррегулярные пары

Основная статья: иррегулярное простое число

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что (p, p-3) является иррегулярной парой.

Через гармонические числа

Простое число Вольстенхольма p — это простое число, такое, что

[math]\displaystyle{ H_{p - 1} \equiv 0 \pmod{p^3}\, , }[/math]

то есть числитель гармонического числа [math]\displaystyle{ H_{p-1} }[/math] делится на p³.

Поиск и текущее состояние

Поиск простых чисел Вольстенхольма начался в 1960-х годах и продолжается до сих пор. Последний результат был опубликован в 2007 году. Первое простое число Вольстенхольма 16843 было найдено в 1964 году, хотя результат и не был опубликован в явном виде. Находка 1964 года была потом независимо подтверждена в 1970-х годах. Это число оставалось единственным известным примером таких чисел почти 20 лет, пока не было объявлено об обнаружении второго простого числа Вольстенхольма 2124679 в 1993 году. В то время вплоть до 1,2⋅10⁷ не было найдено ни одного числа Вольстенхольма, кроме упомянутых двух. Позднее граница была поднята до 2⋅10⁸ Макинтошем (McIntosh) в 1995 году, а Тревисан (Trevisan) и Вебер (Weber) смогли достичь 2,5⋅10⁸. Последний результат зафиксирован в 2007 году — до 1⋅10⁹ так и не нашли простых чисел Вольстенхольма.

Ожидаемое количество

Существует гипотеза, что простых чисел Вольстенхольма бесконечно много. Предполагается также, что количество не превосходящих x простых чисел Вольстенхольма должно быть порядка ln ln x, где ln обозначает натуральный логарифм. Для любого простого числа p ≥ 5 частным Вольстенхольма называется

[math]\displaystyle{ W_p {{=}} \frac{{2p \choose p}-2}{p^3}. }[/math]

Ясно, что p является простым числом Вольстенхольма тогда и только тогда, когда W_p ≡ 0 (mod p). Из эмпирических наблюдений можно предположить, что остаток W_p по модулю p равномерно распределён на множестве {0, 1, …, p-1}. По этим причинам вероятность получения определённого остатка (например, 0) должна быть около 1/p.

См. также

• Число Вильсона
• Простое число Фибоначчи — Вифериха
• Простое число Вифериха

Ссылки

• Caldwell, Chris K. Wolstenholme prime — из справочника простых чисел
• McIntosh, R. J. Wolstenholme Search Status as of March 2004 e-mail to Paul Zimmermann
• Bruck, R. Wolstenholme’s Theorem, Stirling Numbers, and Binomial Coefficients
• Conrad, K. The p-adic Growth of Harmonic Sums — интересное наблюдение, связанное с простыми числами Вольстенхольма.