Число Пелля
Число Пелля — целое число, входящее в качестве знаменателя в бесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корня из 2. Эта последовательность приближений начинается следующим образом: [math]\displaystyle{ \frac{1}{1}, \frac{3}{2}, \frac{7}{5}, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \dots }[/math], то есть первые числа Пелля — 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той же последовательности приближений являются половинами сопутствующих чисел Пелля или числами Пелля — Люка — бесконечной последовательностью, начинающейся с 2, 6, 14, 34 и 82.
Обе последовательности, числа Пелля и сопутствующие числа Пелля, могут быть вычислены с помощью рекуррентного соотношения, похожего на формулы для чисел Фибоначчи, и обе последовательности чисел растут экспоненциально, пропорционально степени серебряного сечения [math]\displaystyle{ 1+\sqrt 2 }[/math].
Кроме использования в цепной дроби приближений к квадратному корню из двух, числа Пелля могут быть использованы для поиска квадратных треугольных чисел и для решения некоторых комбинаторных задач перечисления[1].
Последовательность чисел Пелля известна с древних времен. Как и уравнение Пелля, числа Пелля ошибочно приписаны Леонардом Эйлером Джону Пеллю. Числа Пелля — Люка названы в честь Эдуарда Люка, который изучал эти последовательности. И числа Пелля, и сопутствующие числа Пелля, являются частными случаями последовательностей Люка.
Числа Пелля
Числа Пелля задаются линейным рекуррентным соотношением:
- [math]\displaystyle{ P_n=\begin{cases}0, n=0;\\1, n=1 \\2P_{n-1}+P_{n-2}, n\gt 1 \end{cases} }[/math]
и являются частным случаем последовательности Люка.
Первые несколько чисел Пелля
Числа Пелля можно выразить формулой
- [math]\displaystyle{ P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}. }[/math]
Для больши́х значений n член [math]\displaystyle{ \scriptstyle (1+\sqrt 2)^n }[/math] доминирует в этом выражении, так что числа Пелля примерно пропорциональны степеням серебряного сечения [math]\displaystyle{ \scriptstyle (1+\sqrt 2) }[/math], аналогично тому, как числа Фибоначчи примерно пропорциональны степеням золотого сечения.
Возможно и третье определение — в виде матричной формулы
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} P_{n+1} & P_n \\ P_n & P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{N-1}. }[/math]
Многие тождества могут быть доказаны из этих определений, например тождество, аналогичное тождеству Кассини для чисел Фибоначчи,
- [math]\displaystyle{ P_{n+1}P_{n-1}-P_n^2 = (-1)^{N-1}, }[/math]
как немедленное следствие матричной формулы (подставляя определители матриц слева и справа)[2].
Приближение к квадратному корню из двух
Числа Пелля возникли исторически из рациональных приближений к квадратному корню из 2. Если два больших целых x и y дают решение уравнения Пелля
- [math]\displaystyle{ \displaystyle x^2-2y^2=\pm 1, }[/math]
то их отношение [math]\displaystyle{ \tfrac{x}{y} }[/math] дает близкое приближение к [math]\displaystyle{ \scriptstyle\sqrt 2 }[/math]. Последовательность приближений этого вида
- [math]\displaystyle{ 1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \dots }[/math]
где знаменатель каждой дроби — число Пелля, а числитель равен сумме числа Пелля и его предшественника в последовательности. Таким образом, приближения имеют вид [math]\displaystyle{ \tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n} }[/math].
Приближение
- [math]\displaystyle{ \sqrt 2\approx\frac{577}{408} }[/math]
этого типа было известно математикам Индии в третьем—четвертом столетии до нашей эры[3]. Греческие математики пятого столетия до нашей эры также знали об этом приближении[4]. Платон (Plato) ссылается на числители как рациональные диаметры[5]. Во втором столетии нашей эры Теон Смирнский использовал термины сторона и диаметр для описания знаменателя и числителя этой последовательности[6].
Эти приближения могут быть получены из цепной дроби [math]\displaystyle{ \scriptstyle\sqrt 2 }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots\,}}}}}. }[/math]
Конечная часть цепной дроби дает аппроксимацию в виде чисел Пелля. Например,
- [math]\displaystyle{ \frac{577}{408} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2}}}}}}}. }[/math]
Как писал Кнут (1994), факт аппроксимации числами Пелля [math]\displaystyle{ \scriptstyle\sqrt 2 }[/math] позволяет использовать их для рационального приближения к правильному восьмиугольнику с координатами вершин [math]\displaystyle{ (\pm P_i,\pm P_{i+1}) }[/math] и [math]\displaystyle{ (\pm P_{i+1},\pm P_i) }[/math]. Все вершины этого восьмиугольника одинаково удалены от центра и формируют почти одинаковые углы. Также точки [math]\displaystyle{ (\pm(P_i+P_{i-1}),0) }[/math], [math]\displaystyle{ (0,\pm(P_i+P_{i-1})) }[/math] и [math]\displaystyle{ (\pm P_i,\pm P_i) }[/math] формируют восьмиугольник, у которого вершины почти одинаково удалены от центра и формируют одинаковые углы.
Простые и квадраты
Простым числом Пелля называется число Пелля, являющееся также простым. Несколько первых простых чисел Пелля
Как и в случае с числами Фибоначчи, число Пелля [math]\displaystyle{ P_n }[/math] может быть простым только если n само просто.
Имеется всего три числа Пелля, являющимися квадратами, кубами и другими более высокими степенями, — это 0, 1 и 169 = 132[7].
Несмотря на то, что имеется столь мало квадратов и других степеней среди чисел Пелля, они имеют близкую связь с квадратными треугольными числами[8]. Эти числа возникают из следующего тождества:
- [math]\displaystyle{ \bigl((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{(P_{k-1}+P_k)^2\cdot\left((P_{k-1}+P_k)^2-(-1)^k\right)}{2}. }[/math]
Левая часть этого тождества даёт квадратное число, в то время как правая часть даёт треугольное число, так что в результате получим квадратное треугольное число.
Сантана (Santana) и Диац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) доказали другое тождество, связывающее числа Пелля с квадратами, показав, что сумма чисел Пелля до [math]\displaystyle{ P_{4n+1} }[/math] всегда квадрат:
- [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^{4n+1} P_i = \left(\sum_{r=0}^n 2^r{2n+1\choose 2r}\right)^2 = (P_{2n}+P_{2n+1})^2. }[/math]
Например, сумма чисел Пелля до [math]\displaystyle{ P_5 }[/math], [math]\displaystyle{ 0+1+2+5+12+29=49 }[/math], является квадратом числа [math]\displaystyle{ P_2+P_3=2+5=7 }[/math].
Числа [math]\displaystyle{ P_{2n}+P_{2n+1} }[/math], образующие квадратные корни таких сумм,
известны как простые числа Ньюмена — Шэнкса — Уильямса.
Пифагоровы тройки
Если прямоугольный треугольник имеет стороны a, b, c (по теореме Пифагора a2+b2=c2), то (a,b,c) известны как пифагоровы тройки. Мартин (Martin) (1875) пишет, что числа Пелля могут быть использованы для формирования пифагоровых троек, в которых a и b отличаются на единицу, что соответствует почти равнобедренному прямоугольному треугольнику. Каждая такая тройка имеет вид
- [math]\displaystyle{ (2P_{n}P_{n+1}, P_{n+1}^2 - P_{n}^2, P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1}). }[/math]
Последовательность пифагоровых троек, полученного таким способом
- (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….
Числа Пелля — Люка
Сопутствующие числа Пелля или числа Пелля — Люка определяются линейным рекуррентным соотношением:
- [math]\displaystyle{ Q_n=\begin{cases}2, n=0\\2, n=1\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}, n\gt 1\end{cases} }[/math]
То есть, первые два числа в последовательности равны 2, а все остальные формируются как сумма удвоенного предыдущего числа Пелля — Люка и предшествующего ему, или, что эквивалентно, сложением следующего числа Пелля и предыдущего числа. Так, сопровождающим для 82 является число 29, и 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.
Сопутствующие числа Пелля образуют последовательность:
Сопутствующие числа Пелля можно выразить формулой:
- [math]\displaystyle{ Q_n=(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n. }[/math]
Все эти числа чётны, каждое из них является удвоенным числителем в приближении рациональными числами к [math]\displaystyle{ \scriptstyle\sqrt 2 }[/math].
Вычисления и связи
Следующая таблица даёт несколько первых степеней серебряного сечения [math]\displaystyle{ \delta=\delta_S=1+\sqrt2 }[/math] и связанного с ним [math]\displaystyle{ \bar{\delta}=1-\sqrt{2} }[/math].
[math]\displaystyle{ n }[/math] | [math]\displaystyle{ (1+\sqrt{2})^n }[/math] | [math]\displaystyle{ (1-\sqrt{2})^n }[/math] |
---|---|---|
0 | [math]\displaystyle{ 1+0\sqrt{2}=1.0 }[/math] | [math]\displaystyle{ 1-0\sqrt{2}=1.0 }[/math] |
1 | [math]\displaystyle{ 1+1\sqrt{2}=2.41421\ldots }[/math] | [math]\displaystyle{ 1-1\sqrt{2}=-0.41421\ldots }[/math] |
2 | [math]\displaystyle{ 3+2\sqrt{2}=5.82842\ldots }[/math] | [math]\displaystyle{ 3-2\sqrt{2}=0.17157\ldots }[/math] |
3 | [math]\displaystyle{ 7+5\sqrt{2}=14.07106\ldots }[/math] | [math]\displaystyle{ 7-5\sqrt{2}=-0.07106\ldots }[/math] |
4 | [math]\displaystyle{ 17+12\sqrt{2}=33.97056\ldots }[/math] | [math]\displaystyle{ 17-12\sqrt{2}=0.02943\ldots }[/math] |
5 | [math]\displaystyle{ 41+29\sqrt{2}=82.01219\ldots }[/math] | [math]\displaystyle{ 41-29\sqrt{2}=-0.01219\ldots }[/math] |
6 | [math]\displaystyle{ 99+70\sqrt{2}=197.9949\ldots }[/math] | [math]\displaystyle{ 99-70\sqrt{2}=0.0050\ldots }[/math] |
7 | [math]\displaystyle{ 239+169\sqrt{2}=478.00209\ldots }[/math] | [math]\displaystyle{ 239-169\sqrt{2}=-0.00209\ldots }[/math] |
8 | [math]\displaystyle{ 577+408\sqrt{2}=1153.99913\ldots }[/math] | [math]\displaystyle{ 577-408\sqrt{2}=0.00086\ldots }[/math] |
9 | [math]\displaystyle{ 1393+985\sqrt{2}=2786.00035\ldots }[/math] | [math]\displaystyle{ 1393-985\sqrt{2}=-0.00035\ldots }[/math] |
10 | [math]\displaystyle{ 3363+2378\sqrt{2}=6725.99985\ldots }[/math] | [math]\displaystyle{ 3363-2378\sqrt{2}=0.00014\ldots }[/math] |
11 | [math]\displaystyle{ 8119+5741\sqrt{2}=16238.00006\ldots }[/math] | [math]\displaystyle{ 8119-5741\sqrt{2}=-0.00006\ldots }[/math] |
12 | [math]\displaystyle{ 19601+13860\sqrt{2}=39201.99997\ldots }[/math] | [math]\displaystyle{ 19601-13860\sqrt{2}=0.00002\ldots }[/math] |
Коэффициенты представляют собой половины сопутствующих чисел Пелля [math]\displaystyle{ H_n }[/math] и числа Пелля [math]\displaystyle{ P_n }[/math], являющиеся неотрицательными решениями уравнения [math]\displaystyle{ H^2-2P^2=\pm1 }[/math].
Квадратное треугольное число — это число [math]\displaystyle{ N=\frac{t(t+1)}{2}=s^2 }[/math], которое является как [math]\displaystyle{ t }[/math]-м треугольным числом так и [math]\displaystyle{ s }[/math]-м квадратным. Почти равнобедеренные пифагоровы тройки являются целыми решениями [math]\displaystyle{ a^2+b^2=c^2 }[/math], где [math]\displaystyle{ a+1=b }[/math].
Следующая таблица показывает разложение нечетных [math]\displaystyle{ H_n }[/math] на две почти одинаковые половинки, дающее квадратное треугольное число когда n четно и почти равнобедренную пифагорову тройку, когда n нечетно.
[math]\displaystyle{ n }[/math] | [math]\displaystyle{ H_n }[/math] | [math]\displaystyle{ P_n }[/math] | t | t+1 | s | a | b | c |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |||
1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |||
2 | 3 | 2 | 1 | 2 | 1 | |||
3 | 7 | 5 | 3 | 4 | 5 | |||
4 | 17 | 12 | 8 | 9 | 6 | |||
5 | 41 | 29 | 20 | 21 | 29 | |||
6 | 99 | 70 | 49 | 50 | 35 | |||
7 | 239 | 169 | 119 | 120 | 169 | |||
8 | 577 | 408 | 288 | 289 | 204 | |||
9 | 1393 | 985 | 696 | 697 | 985 | |||
10 | 3363 | 2378 | 1681 | 1682 | 1189 | |||
11 | 8119 | 5741 | 4059 | 4060 | 5741 | |||
12 | 19601 | 13860 | 9800 | 9801 | 6930 |
Определения
Половины сопутствующих чисел Пелля [math]\displaystyle{ H_n }[/math] и числа Пелля [math]\displaystyle{ P_n }[/math] могут быть получены несколькими эквивалентными путями:
Возведение в степень:
- [math]\displaystyle{ (1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ (1-\sqrt2)^n=H_n-P_n\sqrt{2}. }[/math]
Откуда следует:
- [math]\displaystyle{ H_n=\frac{(1+\sqrt2)^n+(1-\sqrt2)^n}{2}. }[/math]
и
- [math]\displaystyle{ P_n\sqrt2=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2}. }[/math]
Парные рекуррентные отношения:
- [math]\displaystyle{ H_n=\begin{cases}1, n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1}, n\gt 0\end{cases} }[/math]
- [math]\displaystyle{ P_n=\begin{cases}0, n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}, n\gt 0\end{cases} }[/math]
или, в матричном виде:
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} H_n \\ P_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} H_{n-1} \\ P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}. }[/math]
Таким образом
- [math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} H_n & 2P_n \\ P_n & H_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n . }[/math]
Приближения
Разность [math]\displaystyle{ H_n }[/math] и [math]\displaystyle{ P_n\sqrt2 }[/math] равна [math]\displaystyle{ (1-\sqrt2)^n \approx (-0.41421)^n }[/math], что быстро стремится к нулю. Таким образом [math]\displaystyle{ (1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt2 }[/math] очень близко к [math]\displaystyle{ 2H_n }[/math].
Из этого наблюдения следует, что отношение целых [math]\displaystyle{ \frac{H_n}{P_n} }[/math] быстро приближается к [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] в то время как [math]\displaystyle{ \frac{H_n}{H_{n-1}} }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{P_n}{P_{n-1}} }[/math] быстро приближается к [math]\displaystyle{ 1+\sqrt2 }[/math].
H2 − 2P2 = ±1
Поскольку [math]\displaystyle{ \sqrt2 }[/math] является иррациональным, мы не можем получить [math]\displaystyle{ \frac{H}{P}=2 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2}{P^2} }[/math]. Лучшее, что мы можем получить, это либо [math]\displaystyle{ \frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2-1}{P^2} }[/math] либо [math]\displaystyle{ \frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2+1}{P^2} }[/math].
Неотрицательными решениями [math]\displaystyle{ H^2-2P^2=1 }[/math] являются пары [math]\displaystyle{ H_n,P_n }[/math] с четным n, и решениями [math]\displaystyle{ H^2-2P^2=-1 }[/math] являются пары [math]\displaystyle{ H_n,P_n }[/math] с n нечетным.
Чтобы понять это, заметим
- [math]\displaystyle{ H_{n+1}^2-2P_{n+1}^2=(H_n+2P_n)^2-2(H_n+P_n)^2=-(H_n^2-2P_n^2) }[/math]
так что, начиная с [math]\displaystyle{ H_{0}^2-2P_{0}^2=1 }[/math] знак чередуется ([math]\displaystyle{ 1 , -1 }[/math]). Заметим теперь, что каждое положительное решение можно получить из решения с меньшим индексом благодаря равенству [math]\displaystyle{ (2P-H)^2-2(H-P)^2=-(H^2-2P^2) }[/math].
Квадратные треугольные числа
Требуемое равенство [math]\displaystyle{ \frac{t(t+1)}{2}=s^2 }[/math] эквивалентно [math]\displaystyle{ 4t^2+4t+1=8s^2+1 }[/math], что превращается в [math]\displaystyle{ H^2=2P^2+1 }[/math] при подстановке [math]\displaystyle{ H=2t+1 }[/math] и [math]\displaystyle{ P=2s }[/math]. Отсюда n-м решением будет [math]\displaystyle{ t_n=\frac{H_{2n}-1}{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ s_n=\frac{P_{2n}}{2}. }[/math]
Заметим, что [math]\displaystyle{ t }[/math] и [math]\displaystyle{ t+1 }[/math] взаимно просты, так что [math]\displaystyle{ \frac{t(t+1)}{2}=s^2 }[/math] возможно только тогда, когда они являются соседними целыми, одно — квадрат [math]\displaystyle{ H^2 }[/math] и другое — удвоенный квадрат [math]\displaystyle{ 2P^2 }[/math]. Поскольку мы знаем все решения уравнения, мы получаем
- [math]\displaystyle{ t_n=\begin{cases}2P_n^2&n \equiv 0\pmod 2 \\H_{n}^2&n\equiv 1 \pmod 2 \end{cases} }[/math]
и [math]\displaystyle{ s_n=H_nP_n }[/math]
[math]\displaystyle{ n }[/math] | [math]\displaystyle{ H_n }[/math] | [math]\displaystyle{ P_n }[/math] | t | t+1 | s | a | b | c | ||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | 1 | 0 | ||||||||
1 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 1 | 0 | 1 | ||
2 | 3 | 2 | 8 | 9 | 6 | 3 | 4 | 5 | ||
3 | 7 | 5 | 49 | 50 | 35 | 21 | 20 | 29 | ||
4 | 17 | 12 | 288 | 289 | 204 | 119 | 120 | 169 | ||
5 | 41 | 29 | 1681 | 1682 | 1189 | 697 | 696 | 985 | ||
6 | 99 | 70 | 9800 | 9801 | 6930 | 4059 | 4060 | 5741 |
Триплеты Пифагора
Равенство [math]\displaystyle{ c^2=a^2+(a+1)^2=2a^2+2a+1 }[/math] верно только при [math]\displaystyle{ 2c^2=4a^2+4a+2 }[/math], что превращается в [math]\displaystyle{ 2P^2=H^2+1 }[/math] при подстановке [math]\displaystyle{ H=2a+1 \mbox{ and } P=c }[/math]. Тогда n-м решением является [math]\displaystyle{ a_n=\frac{H_{2n+1}-1}{2} }[/math] и [math]\displaystyle{ c_n={P_{2n+1}}. }[/math]
Таблица выше показывает, что с точностью до порядка [math]\displaystyle{ a_n }[/math] и [math]\displaystyle{ b_n=a_n+1 }[/math] равны [math]\displaystyle{ H_nH_{n+1} }[/math] и [math]\displaystyle{ 2P_nP_{n+1} }[/math] , в то время как [math]\displaystyle{ c_n=H_{n+1}P_n+P_{n+1}H_n. }[/math]
Примечания
- ↑ Например, Селлерс (Sellers) в 2002 году показал, что количество совершенных паросочетаний в декартовом произведении путей и графа K4-e может быть вычислено как произведение числа Пелля на соответствующие число Фибоначчи
- ↑ О матричной формуле и её следствиях смотрите Эрколано (Ercolano) (1979), Килик (Kilic) и Таски (Tasci) (2005). Другие тождества для чисел Пелля приведены Хорадамом (Horadam) (1971) и Бикнеллем (Bicknell) (1975).
- ↑ Это записано в Shulba Sutras. Смотрите, например, Дутка (Dutka) (1986), который цитировал Тибаута (Thibaut) (1875)
- ↑ Смотри Кнорра (Knorr) (1976) со ссылкой на пятое столетие, что соответствует утверждению Прокла, что числа были открыты пифагорейцами. Для более полного исследования о более поздних знаниях греков об этих числах смотри Томпсона (Thompson) (1929), Ведова (Vedova) (1951), Риденхоура (Ridenhour) (1986), Кнорра (Knorr) (1998), и Филепа (Filep) (1999).
- ↑ Например, в Государстве Платона имеется ссылка на «рациональный диаметр пяти», под которым Платон подразумевал 7, числитель приближения 7/5.
- ↑ A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid - Sir Thomas Little Heath - Google Books . Дата обращения: 28 января 2013.
- ↑ Pethő (1992); Cohn (1996). Хотя числа Фибоначчи определяются рекуррентными формулами, очень похожими на формулы для чисел Пелля, Кон (Cohn) пишет, что аналогичные результаты для чисел Фибоначчи куда сложнее доказать (однако, они доказаны в 2006 году Бугеадом [Bugeaud]).
- ↑ Sesskin (1962).
Литература
- Bicknell, Marjorie. A primer on the Pell sequence and related sequences // Fibonacci Quarterly. — 1975. — Т. 13, вып. 4. — С. 345—349.
- Cohn, J. H. E. Perfect Pell powers // Glasgow Mathematical Journal. — 1996. — Т. 38, вып. 1. — С. 19—20. — doi:10.1017/S0017089500031207.
- Dutka, Jacques. On square roots and their representations // Archive for History of Exact Sciences. — 1986. — Т. 36, вып. 1. — С. 21—39. — doi:10.1007/BF00357439.
- Ercolano, Joseph. Matrix generators of Pell sequences // Fibonacci Quarterly. — 1979. — Т. 17, вып. 1. — С. 71—77.
- Filep, László. Pythagorean side and diagonal numbers // Acta Mathematica Academiae Paedagogiace Nyíregyháziensis. — 1999. — Т. 15. — С. 1–7.
- Horadam, A. F. Pell identities // Fibonacci Quarterly. — 1971. — Т. 9, вып. 3. — С. 245—252, 263.
- Kilic, Emrah; Tasci, Dursun. The linear algebra of the Pell matrix // Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, Tercera Serie. — 2005. — Т. 11, вып. 2. — С. 163—174.
- Knorr, Wilbur. Archimedes and the measurement of the circle: A new interpretation // Archive for History of Exact Sciences. — 1976. — Т. 15, вып. 2. — С. 115—140. — doi:10.1007/BF00348496.
- Knorr, Wilbur. "Rational diameters" and the discovery of incommensurability // American Mathematical Monthly. — 1998. — Т. 105, вып. 5. — С. 421—429. — doi:10.2307/3109803.
- Knuth, Donald E. Leaper graphs // The Mathematical Gazette. — 1994. — Т. 78, вып. 483. — С. 274—297. — doi:10.2307/3620202. — arXiv:math.CO/9411240.
- Martin, Artemas. Rational right angled triangles nearly isosceles // The Analyst. — 1875. — Т. 3, вып. 2. — С. 47—50. — doi:10.2307/2635906. — .
- Pethő, A. Sets, graphs, and numbers (Budapest, 1991). — Colloq. Math. Soc. János Bolyai, 60, North-Holland, 1992. — С. 561—568.
- Ridenhour, J. R. Ladder approximations of irrational numbers // Mathematics Magazine. — Т. 59, вып. 2. — С. 95—105. — doi:10.2307/2690427. — .
- Santana, S. F.; Diaz-Barrero, J. L. Some properties of sums involving Pell numbers // Missouri Journal of Mathematical Sciences. — 2006. — Т. 18, вып. 1. Архивировано 8 мая 2007 года.
- Sellers, James A. Domino tilings and products of Fibonacci and Pell numbers // Journal of Integer Sequences. — 2002. — Т. 5.
- Sesskin, Sam. A «converse» to Fermat's last theorem? // Mathematics Magazine. — 1962. — Т. 35, вып. 4. — С. 215—217. — doi:10.2307/2688551. — .
- Thibaut, George. On the Súlvasútras // Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal. — 1875. — Т. 44. — С. 227—275.
- Thompson, D'Arcy Wentworth. III.—Excess and defect: or the little more and the little less // Mind: New Series. — 1929. — Т. 38, вып. 149. — С. 43—55. — .
- Vedova, G. C. Notes on Theon of Smyrna // American Mathematical Monthly. — 1951. — Т. 58, вып. 10. — С. 675—683. — doi:10.2307/2307978. — .
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Pell Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Для улучшения этой статьи желательно: |