Свободное от квадратов число

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

В математике свободным от квадратов, или бесквадратным, называется число, которое не делится ни на один квадрат, кроме 1. К примеру, 10 — свободное от квадратов, а 18 — нет, так как 18 делится на 9 = 32. Начало последовательности свободных от квадратов чисел таково:

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, … последовательность A005117 в OEIS

Теория колец обобщает понятие бесквадратности следующим образом:

Элемент r факториального кольца R называется свободным от квадратов, если он не делится на нетривиальный квадрат.

Свободные от квадратов элементы также могут быть охарактеризованы исходя из их разложения на простые сомножители: любой ненулевой элемент r может быть представлен в виде произведения простых элементов

[math]\displaystyle{ r=\varepsilon p_1p_2\cdots p_n }[/math],

причем все простые сомножители pi различны, а [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math] — некоторая единица (обратимый элемент) кольца.

Эквивалентная характеристика чисел, свободных от квадратов

Положительное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда в разложении этого числа на простые множители ни одно простое число не встречается больше одного раза. По-другому это можно выразить так: для любого простого делителя p числа n, число p не делит n / p. Или, число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда для любого его разложения на множители n = ab, множители a и b взаимно просты.

Положительное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ \mu(n)\neq 0 }[/math], где [math]\displaystyle{ \mu(n) }[/math] обозначает функцию Мёбиуса.

Ряд Дирихле, порождающий свободные от квадратов числа:

[math]\displaystyle{ \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s) } = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{ |\mu(n)|}{n^{s}} }[/math] где [math]\displaystyle{ \zeta(s) }[/math] — дзета-функция Римана.

Это сразу видно из произведения Эйлера:

[math]\displaystyle{ \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} =\prod_p \frac{(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}=\prod_p (1+p^{-s}). }[/math]

Положительное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда все абелевы группы порядка n изоморфны друг другу, что верно в том и только в том случае, когда они все — циклические. Это следует из классификации конечнопорождённых абелевых групп.

Положительное число n свободно от квадратов тогда и только тогда, когда факторкольцо [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }[/math] (см. сравнение по модулю) есть произведение полей. Это следует из китайской теоремы об остатках и того факта, что кольцо [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/k\mathbb{Z} }[/math] — поле тогда и только тогда, когда k — простое число.

Для любого положительного числа n множество всех положительных его делителей представляет собой частично упорядоченное множество, если мы положим в качестве порядка отношение «делимости». Это частично упорядоченное множество — всегда дистрибутивная решётка. Оно — Булева алгебра в том и только в том случае, когда n свободно от квадратов.

Радикал целого числа всегда свободен от квадратов.

Плотность свободных от квадратов чисел

Пусть [math]\displaystyle{ Q(x) }[/math] задаёт число свободных от квадратов чисел в промежутке от 1 до x. Для большого n, 3/4 положительных чисел, меньших n не делятся на 4, 8/9 этих чисел не делятся на 9 и т. д.. Так как эти события независимы, получаем формулу:

[math]\displaystyle{ Q(x) \approx x\prod_{p\ \text{prime}} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = x\prod_{p\ \text{prime}} \frac{1}{(1-\frac{1}{p^2})^{-1}} }[/math]
[math]\displaystyle{ Q(x) \approx x\prod_{p\ \text{prime}} \frac{1}{1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}+\cdots} = \frac{x}{\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}} = \frac{x}{\zeta(2)} }[/math]

Можно получить формулу без дзета-функции:

[math]\displaystyle{ Q(x) = \frac{x}{\zeta(2)} + O\left(\sqrt{x}\right) = \frac{6x}{\pi^2} + O\left(\sqrt{x}\right) }[/math]

(см. pi и «O» большое и «o» малое). Согласно гипотезе Римана, оценка может быть улучшена:[1]

[math]\displaystyle{ Q(x) = \frac{x}{\zeta(2)} + O\left(x^{17/54+\varepsilon}\right) = \frac{6x}{\pi^2} + O\left(x^{17/54+\varepsilon}\right). }[/math]

Вот как ведёт себя разность числа свободных от квадратов чисел до n и [math]\displaystyle{ \left[\frac{n}{\zeta(2)}\right] }[/math] на сайте OEIS: A158819 — (Number of square-free numbers ≤ n) minus round(n/ζ(2)).

Таким образом асимптотическая плотность свободных от квадратов чисел выглядит так:

[math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2} = \frac{1}{\zeta(2)} }[/math]

Где [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] — дзета-функция Римана а [math]\displaystyle{ 1/\zeta(2)\approx 0.6079 }[/math] (то есть, примерно 3/5 всех чисел свободны от квадратов).

Аналогично, если [math]\displaystyle{ Q(x,n) }[/math] означает число n-свободных чисел (то есть 3-свободные числа не содержат кубов) между 1 и x, то:

[math]\displaystyle{ Q(x,n) = \frac{x}{\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^n}} + O\left(\sqrt[n]{x}\right) = \frac{x}{\zeta(n)} + O\left(\sqrt[n]{x}\right). }[/math]

Кодирование двоичными числами

Если представить свободное от квадратов число в качестве бесконечного произведения вида

[math]\displaystyle{ \prod_{n=0}^\infty {p_{n+1}}^{a_n}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ a_n\in\{0,1\}, }[/math], а [math]\displaystyle{ p_n }[/math] — n-е простое число, то мы можем выбирать эти коэффициенты [math]\displaystyle{ a_n }[/math] и использовать их в качестве битов в бинарной кодировке:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty {a_n}\cdot 2^n }[/math]

К примеру, свободное от квадратов число 42 раскладывается как 2 × 3 × 7, или как бесконечное произведение: 21 · 31 · 50 · 71 · 110 · 130 · …; Таким образом, число 42 кодируется последовательностью ...001011 или 11 в десятичной системе. (в бинарной кодировке биты пишутся наоборот.) А так как разложение на простые множители каждого числа — уникально, то уникален и бинарный код каждого свободного от квадратов числа.

Обратное так же верно: так как у каждого положительного числа — уникальный бинарный код, его можно декодировать, получая уникальные числа, свободные от квадратов.

Возьмём опять для примера число 42 — на этот раз просто в качестве положительного числа. Тогда мы получаем бинарный код 101010 — это означает: 20 · 31 · 50 · 71 · 110 · 131 = 3 × 7 × 13 = 273.

С точки зрения мощностей, это означает, что мощность множества чисел, свободных от квадратов, совпадает с мощностью множества всех натуральных чисел. Что в свою очередь означает, что кодирования свободных от квадратов чисел по порядку — в точности перестановка множества натуральных чисел.

См. последовательности A048672 и A064273 на сайте OEIS.

Гипотеза Эрдёша

Центральный биномиальный коэффициент [math]\displaystyle{ {2n \choose n} }[/math] не может быть свободен от квадратов для n > 4.

Это предположение Эрдёша о бесквадратности было доказано в 1996 году математиками Оливьером Рамарэ и Эндрю Грэвиллом.

См. также

Литература

  • Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 385 с.

Примечания

  1. Jia, Chao Hua. «The distribution of square-free numbers», Science in China Series A: Mathematics 36:2 (1993), pp. 154—169. Cited in Pappalardi 2003, A Survey on k-freeness Архивная копия от 3 марта 2016 на Wayback Machine; также см. Kaneenika Sinha, «Average orders of certain arithmetical functions Архивная копия от 14 февраля 2012 на Wayback Machine», Journal of the Ramanujan Mathematical Society 21:3 (2006), pp. 267—277.