Суперизбыточное число

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «Суперизбыточные числа»)

Суперизбыточное число (SA от англ. superabundant) — натуральное число [math]\displaystyle{ n }[/math] такое, что для всех [math]\displaystyle{ m \lt n }[/math] выполнено

[math]\displaystyle{ \frac{\sigma(m)}{m} \lt \frac{\sigma(n)}{n}~, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] — функция делителей (то есть сумма всех положительных делителей числа [math]\displaystyle{ n }[/math], включая [math]\displaystyle{ n }[/math]).

Первые несколько суперизбыточных чисел[1]: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, …. Например, число 5 не является суперизбыточным числом, потому что для 1, 2, 3, 4 и 5 сигма равна 1, 3, 4, 7, 6, и 7/4 > 6/5.

Избыточные числа определялись[уточнить] Леонидасом Алаоглу и Палом Эрдёшем[2]. Около 30 страниц статьи Рамануджана 1915 года «Сверхсоставные числа», которые были неизвестны Алаоглу и Эрдёшу, были закрыты[уточнить]. Эти страницы были наконец опубликованы в Журнале Рамануджана 1 (1997), 119—153[уточнить]. В разделе 59 этой статьи Рамануджан определяет обобщённые сверхсоставные числа, которые включают в себя суперизбыточные числа.

Свойства

Леонидас Алаоглу и Пал Эрдёш (1944[2]) доказали, что если [math]\displaystyle{ n }[/math] суперизбыточно, то существуют [math]\displaystyle{ k }[/math] и [math]\displaystyle{ a_1, a_2, \dotsb, a_k }[/math] такие, что

[math]\displaystyle{ n=\prod_{i=1}^k (p_i)^{a_i}~, }[/math]

где:

[math]\displaystyle{ p_i }[/math] — [math]\displaystyle{ i }[/math]-е простое число;
[math]\displaystyle{ a_1\geqslant a_2\geqslant \dotsb \geqslant a_k\geqslant 1~. }[/math]

То есть, они доказали, что если [math]\displaystyle{ n }[/math] является суперизбыточным, разложение [math]\displaystyle{ n }[/math] на простые числа имеет невозрастающие показатели (показатель большего простого числа никогда не больше, чем это меньшее простое число) и что все простые числа вплоть до [math]\displaystyle{ p_k }[/math] — множители [math]\displaystyle{ n }[/math]. Тогда, в частности, любое суперизбыточное число является чётным целым числом, кратным [math]\displaystyle{ k }[/math]-му простому [math]\displaystyle{ p_k\# }[/math].

Фактически, последний показатель степени [math]\displaystyle{ a_k }[/math] равен 1, кроме случаев, когда [math]\displaystyle{ n }[/math] равно 4 или 36.

Суперизбыточные числа тесно связаны со сверхсоставными. Не все суперизбыточные числа являются сверхсоставными числами. Фактически, только 449 суперизбыточных и сверхсоставных чисел совпадают (последовательность A166981 в OEIS). Например, 7560 сверхсоставно, но не суперизбыточно. Напротив, 1163962800 суперизбыточно, но не сверхсоставно.

Алаоглу и Эрдёш заметили, что все избыточные числа весьма избыточные.

Не все суперизбыточные числа являются числами харшад. Первым исключением является 105-й номер SA — 149602080797769600. Сумма цифр равна 81, но 81 не делится на этот номер SA равномерно.

Суперизбыточные числа также представляют интерес в связи с гипотезой Римана и теоремой Робина в связи с тем, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению:

[math]\displaystyle{ \frac{\sigma(n)}{e^\gamma n\log\log n} \lt 1 }[/math]

для всех [math]\displaystyle{ n }[/math], превышающих наибольшее известное исключение, суперизбыточное число 5040. Если это неравенство имеет больший контрпример, доказывающий ложность гипотезы Римана, наименьший такой контрпример должен быть суперизбыточным числом[3].

Не все суперизбыточные числа являются колоссально избыточными.

Обобщение

Обобщённые [math]\displaystyle{ k }[/math]-суперизбыточные числа — такие числа, что [math]\displaystyle{ \textstyle \frac{\sigma_k(m)}{m^k} \lt \frac{\sigma_k(n)}{n^k} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ m \lt n }[/math], где [math]\displaystyle{ \sigma_k(n) }[/math] является суммой [math]\displaystyle{ k }[/math]-х степеней делителей [math]\displaystyle{ n }[/math].

1-суперизбыточные числа — суперизбыточные числа. 0-суперизбыточные числа — сверхсоставные числа.

Например, обобщёнными 2-суперизбыточными числами являются[4] 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, …

Примечания

Литература

Ссылки