Треугольное число

Треугольное число — один из классов фигурных многоугольных чисел, определяемый как число точек, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Как видно из рисунка, [math]\displaystyle{ n }[/math]-е треугольное число [math]\displaystyle{ T_n }[/math] — это сумма [math]\displaystyle{ n }[/math] первых натуральных чисел:

[math]\displaystyle{ \begin{align} T_1 &= 1 &=&\ 1\\ T_2 &= 1 + 2 &=&\ 3\\ T_3 &= 1 + 2 + 3 &=&\ 6\\ T_4 &= 1 + 2 + 3 + 4 &=&\ 10\\ \end{align} }[/math]

и т. д. Общая формула для [math]\displaystyle{ n }[/math]-го по порядку треугольного числа:

[math]\displaystyle{ T_n=\frac12n(n+1),\; n=1,2,3\dots }[/math];

Последовательность треугольных чисел [math]\displaystyle{ T_n }[/math] бесконечна. Она начинается так:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105,120 … (последовательность A000217 в OEIS)

Часть источников начинает последовательность треугольных чисел с нуля, которому соответствует номер [math]\displaystyle{ n=0. }[/math]

Треугольные числа играют значительную роль в комбинаторике и теории чисел^[⇨], они тесно связаны с многими другими классами целых чисел^[⇨].

Свойства

Рекуррентная формула для n-го треугольного числа^[1]:

[math]\displaystyle{ T_n=T_{n-1}+n }[/math].

Следствия ([math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math])^[2]^[3]:

[math]\displaystyle{ T_{n+1}=T_{n-1}+2n+1 }[/math].

[math]\displaystyle{ T_{n+1} + T_{n-1} = 2T_n + 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ T_{2n-1}=3T_{n-1}+T_n }[/math] (см. рисунок слева).

[math]\displaystyle{ T_{2n}=3T_n+T_{n-1} }[/math]. (см. рисунок справа).

Ещё две формулы легко доказать по индукции^[4]:

[math]\displaystyle{ T_{m+n} = T_m + T_n + mn }[/math]

[math]\displaystyle{ T_{mn} = T_m T_n + T_{m-1}T_{n-1} }[/math]

Все треугольные числа, кроме 1 и 3, составные. Никакое треугольное число не может в десятичной записи заканчиваться цифрой^[2] [math]\displaystyle{ 2,4,7,9. }[/math] Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

Третья сбоку линия (диагональ) треугольника Паскаля состоит из треугольных чисел^[5].

Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по одной из формул^[6]:

[math]\displaystyle{ S_{m-1}=1+3+6+\dots+ \frac{(m-1)m}{2} = \frac{m^3- m}{6} }[/math]

или:

[math]\displaystyle{ S_{m}=1+3+6+\dots+ \frac{m(m+1)}{2} = \frac{m(m+1)(m+2)}{6} }[/math]

Ряд из чисел, обратных треугольным, сходится (см. Телескопический ряд):

[math]\displaystyle{ 1 + {1 \over 3}+{1 \over 6} + {1 \over 10} + {1 \over 15}+\dots=2\sum_{n=1}^{\infty} \left({1 \over n} - {1 \over n+1}\right) = 2 }[/math]

Восемь треугольных чисел и ещё одна точка образуют полный квадрат

Критерий треугольности числа

Натуральное число [math]\displaystyle{ x }[/math] является треугольным тогда и только тогда, когда число [math]\displaystyle{ 8x+1 }[/math] является полным квадратом.

В самом деле, если [math]\displaystyle{ x }[/math] треугольное, то [math]\displaystyle{ 8x+1= 8\frac{n(n+1)}{2} +1=4n^2+4n+1 = (2n+1)^2. }[/math] Обратно, число [math]\displaystyle{ 8x+1 }[/math] нечётно, и если оно равно квадрату некоторого числа [math]\displaystyle{ a, }[/math] то [math]\displaystyle{ a }[/math] тоже нечётно: [math]\displaystyle{ a=2n+1, }[/math] и мы получаем равенство: [math]\displaystyle{ 8x+1=(2n+1)^2=4n^2+4n+1, }[/math] откуда: [math]\displaystyle{ x=\frac{n(n+1)}{2} }[/math] — треугольное число ■.

Следствие: номер числа [math]\displaystyle{ x }[/math] в последовательности треугольных чисел определяется формулой:

[math]\displaystyle{ n = \frac{\sqrt{8x+1}-1}{2}. }[/math]

Применение

Треугольные числа возникают во многих практических ситуациях.

Как биномиальный коэффициент [math]\displaystyle{ T_n = C^2_{n+1} }[/math] число [math]\displaystyle{ T_n }[/math] определяет число сочетаний для выбора двух элементов из [math]\displaystyle{ n+1 }[/math] возможных.

Если [math]\displaystyle{ n }[/math] объектов попарно соединить отрезками, то число отрезков (число рёбер полного графа) будет выражаться треугольным числом:

[math]\displaystyle{ T_{n-1}=\frac{n(n-1)}{2} }[/math]

Это видно из того, что каждый из [math]\displaystyle{ n }[/math] объектов соединяется с остальными [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] объектами, так что получается [math]\displaystyle{ n(n-1) }[/math] соединений, однако при таком учёте каждое соединение засчитывается дважды (с двух разных концов), так что результат надо разделить пополам.

Аналогично максимальное количество рукопожатий для [math]\displaystyle{ n }[/math] человек или количество шахматных партий в турнире с [math]\displaystyle{ n }[/math] участниками равны [math]\displaystyle{ T_{n-1}. }[/math] Из тех же соображений можно заключить, что число диагоналей в выпуклом многоугольнике с [math]\displaystyle{ n }[/math] сторонами (n>3) равно:

[math]\displaystyle{ T_{n-2} - 1 = \frac{n(n-3)}{2} }[/math]

Максимальное количество [math]\displaystyle{ p }[/math] кусков, которое можно получить с помощью [math]\displaystyle{ n }[/math] прямых разрезов пиццы (см. рисунок справа), равно [math]\displaystyle{ T_n+1 }[/math] (см. Центральные многоугольные числа, последовательность A000124 в OEIS).

Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным^[7]. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы двух квадратов треугольных чисел^[8]: [math]\displaystyle{ 666=15^2+21^2. }[/math]

Четвёртое треугольное число 10 (тетраксис) пифагорейцы считали священным, определяющим гармонию вселенной — в частности, соотношения музыкальных интервалов, смену времён года и движение планет^[9].

Связь с другими классами чисел

Любое [math]\displaystyle{ k }[/math]-угольное число [math]\displaystyle{ P^{(k)}_n \; (k\geqslant 3, n \gt 1) }[/math] может быть выражено через треугольные^[10]:

[math]\displaystyle{ P^{(k)}_n = n + (k-2)\frac{n(n-1)}{2} = (k - 3)T_{n-1} + T_n }[/math]

Сумма двух последовательных треугольных чисел — это квадратное число (полный квадрат), то есть^[7]:

[math]\displaystyle{ T_{n-1}+T_n=n^2\; }[/math] (формула Теона Смирнского^[11].

Примеры:

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

Обобщением этой формулы является формула Никомаха — для любого [math]\displaystyle{ k \geqslant 3 }[/math] разность между [math]\displaystyle{ (k+1) }[/math]-угольным и [math]\displaystyle{ k }[/math]-угольным числами с одним и тем же номером есть треугольное число^[12]:

[math]\displaystyle{ P^{(k+1)}_n - P^{(k)}_n = T_{n-1} }[/math]

Предыдущая формула получается при [math]\displaystyle{ k=3. }[/math]

Существует единственная пифагорова тройка, состоящая из треугольных чисел^[13]:

[math]\displaystyle{ \{T_{132}, T_{143}, T_{164}\} = \{8778, 10296, 13530\}. }[/math]

Среди треугольных чисел существуют числа-палиндромы, то есть числа, которые одинаковы при чтении их слева направо и справа налево (последовательность A003098 в OEIS):

[math]\displaystyle{ 1, 3, 6, 55, 66, 171, 595, 666, 3003, 5995, 8778, \dots }[/math]

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»)^[14]^[15]: [math]\displaystyle{ 1, 36, 1225, 41616, 1413721 \dots }[/math] (последовательность A001110 в OEIS).

Треугольное число может также быть одновременно

пятиугольным (последовательность A014979 в OEIS):

1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465…;

шестиугольным (все треугольные числа с нечётным номером);
семиугольным (последовательность A046194 в OEIS):

1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921, 180458407386358101…

и т. д. Неизвестно, существуют ли числа, одновременно треугольные, квадратные и пятиугольные; проверка на компьютере чисел, меньших [math]\displaystyle{ 10^{22166}, }[/math] не обнаружила ни одного подобного числа, однако не доказано, что таковых не существует^[16].

Четыре треугольных числа [math]\displaystyle{ 1, 3, 15, 4095 }[/math] являются одновременно числами Мерсенна (последовательность A076046 в OEIS) (см. уравнение Рамануджана — Нагеля).

Пять чисел [math]\displaystyle{ 1, 10, 120, 1540, 7140 }[/math] (и только они) одновременно треугольные и тетраэдральные (последовательность A027568 в OEIS).

Четыре числа [math]\displaystyle{ 1, 55, 91, 208335 }[/math] одновременно треугольные и квадратные пирамидальные (последовательность A039596 в OEIS).

Никакое натуральное число, кроме 1, не может быть одновременно^[17]^[18]:

треугольным и кубическим;
треугольным и биквадратным^[19];
треугольным и пятой степенью целого числа^[17];

Каждое чётное совершенное число является треугольным^[20].

Любое натуральное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировал в 1638 году Пьер Ферма в письме к Мерсенну без доказательства, впервые доказано в 1796 году Гауссом^[21].

Квадрат n-го треугольного числа является суммой кубов первых [math]\displaystyle{ n }[/math] натуральных чисел^[22]. Следствие: разность квадратов двух последовательных треугольных чисел дает кубическое число. Например, [math]\displaystyle{ 15^2 - 10^2 = 125 = 5^3. }[/math]

Производящая функция

Степенной ряд, коэффициенты которого — треугольные числа, сходится при [math]\displaystyle{ |x|\lt 1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{x}{(1-x)^3} = T_1 x + T_2 x^2 + T_3 x^3 + \dots + T_n x^n + \dots }[/math]

Выражение слева является производящей функцией для последовательности треугольных чисел^[23].

Вариации и обобщения

Вариацией треугольных чисел являются центрированные треугольные числа.

Понятие плоского треугольного числа можно обобщить на три и более измерений. Пространственным их аналогом служат тетраэдральные числа, а в произвольном [math]\displaystyle{ d }[/math]-мерном пространстве можно определить гипертетраэдральные числа^[24]:

[math]\displaystyle{ T^{[d]}_n = \frac{(n-1+d)!}{(n-1)!\ d!} }[/math]

Их частным случаем выступают:

[math]\displaystyle{ T^{[2]}_n }[/math] — треугольные числа.
[math]\displaystyle{ T^{[3]}_n }[/math] — тетраэдральные числа.
[math]\displaystyle{ T^{[4]}_n }[/math] — пентатопные числа.

Ещё одним обобщением треугольных чисел являются числа Стирлинга второго рода^[25]:

[math]\displaystyle{ T_n=S(n+1,n) }[/math]

Примечания

↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 16.
↑ ^2,0 ^2,1 Villemin.
↑ Деза Е., 2011, с. 24—25, 29.
↑ Деза Е., 2011, с. 66.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 188.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 71.
↑ ^7,0 ^7,1 Шамшурин А. В. Волшебная сила треугольных чисел (рус.). Старт в науке. Дата обращения: 7 апреля 2021.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 225.
↑ Dimitra Karamanides (2005), Pythagoras: pioneering mathematician and musical theorist of Ancient Greece, The Rosen Publishing Group, с. 65, ISBN 9781404205000, <https://books.google.com/books?id=DQpSA4CEnIwC> Архивная копия от 14 октября 2020 на Wayback Machine
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 15.
↑ Деза Е., 2011, с. 23.
↑ За страницами учебника математики, 1996, с. 50.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 195.
↑ There exist triangular numbers that are also square (англ.). cut-the-knot. Дата обращения: 7 апреля 2021. Архивировано 27 апреля 2006 года.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 25—33.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 34—37.
↑ ^17,0 ^17,1 The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). Дата обращения: 9 марта 2021.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 77—78.
↑ Dickson, 2005, p. 8.
↑ Voight, John. Perfect numbers: an elementary introduction // University of California, Berkley. — 1998. — С. 7. Архивировано 25 февраля 2017 года.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 10.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 79.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 17—19.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 126—134.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 214—215.

Литература

Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
Деза Е. Специальные числа натурального ряда: Учебное пособие.. — М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2011. — 240 с. — ISBN 978-5-397-01750-3.
Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.
Dickson L. E. Polygonal. pyramidal and figurate numbers // History of the Theory of Numbers. — New York : Dover, 2005. — Vol. 2: Diophantine Analysis. — P. 22—23.

Ссылки

Фигурные числа (рус.). Издательская группа ОСНОВА.
Villemin, Gérard. Nombres Triangulaires (фр.). Nombres — Curiosités, théorie et usages (2007).
Weisstein, Eric W. Triangular Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[_cef8a15096c5ef5a-1] Деза Е., Деза М., 2016, с. 16.

[_d5856160da49cd55-2] 2,0 ^2,1 Villemin.

[_5f7129a8d501bb80-3] Деза Е., 2011, с. 24—25, 29.

[_3f9e4f0352bb2998-4] Деза Е., 2011, с. 66.

[_76696ff03255ab84-5] Деза Е., Деза М., 2016, с. 188.

[_cef89f5096c5ec37-6] Деза Е., Деза М., 2016, с. 71.

[Sham-7] 7,0 ^7,1 Шамшурин А. В. Волшебная сила треугольных чисел (рус.). Старт в науке. Дата обращения: 7 апреля 2021.

[_7673ebf0325ed2c0-8] Деза Е., Деза М., 2016, с. 225.

[9] Dimitra Karamanides (2005), Pythagoras: pioneering mathematician and musical theorist of Ancient Greece, The Rosen Publishing Group, с. 65, ISBN 9781404205000, <https://books.google.com/books?id=DQpSA4CEnIwC> Архивная копия от 14 октября 2020 на Wayback Machine

[DD15-10] Деза Е., Деза М., 2016, с. 15.

[_3f9e530352bb3049-11] Деза Е., 2011, с. 23.

[_f26532716c1a07da-12] За страницами учебника математики, 1996, с. 50.

[_766970f03255ad5a-13] Деза Е., Деза М., 2016, с. 195.

[14] There exist triangular numbers that are also square (англ.). cut-the-knot. Дата обращения: 7 апреля 2021. Архивировано 27 апреля 2006 года.

[_72c0946749498450-15] Деза Е., Деза М., 2016, с. 25—33.

[DD34-16] Деза Е., Деза М., 2016, с. 34—37.

[PENG9-17] 17,0 ^17,1 The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). Дата обращения: 9 марта 2021.

[_fd15251747dd2228-18] Деза Е., Деза М., 2016, с. 77—78.

[_ce12a21b9444e90d-19] Dickson, 2005, p. 8.

[20] Voight, John. Perfect numbers: an elementary introduction // University of California, Berkley. — 1998. — С. 7. Архивировано 25 февраля 2017 года.

[_cef8a15096c5ef5c-21] Деза Е., Деза М., 2016, с. 10.

[_cef89f5096c5ec3f-22] Деза Е., Деза М., 2016, с. 79.

[_40c17f687550b3bd-23] Деза Е., Деза М., 2016, с. 17—19.

[_ddc5735a2323e4c6-24] Деза Е., Деза М., 2016, с. 126—134.

[_99c8f1b1672c3b3e-25] Деза Е., Деза М., 2016, с. 214—215.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]