Репьюниты
Репью́ниты (англ. repunit, от repeated unit — повторённая единица)[1] — натуральные числа [math]\displaystyle{ R(b, n) }[/math], запись которых в системе счисления с основанием [math]\displaystyle{ b \gt 1 }[/math] состоит из одних единиц. В десятичной системе счисления репьюниты обозначаются [math]\displaystyle{ R_n }[/math]: [math]\displaystyle{ R_1 = 1 }[/math], [math]\displaystyle{ R_2 = 11 }[/math], [math]\displaystyle{ R_3 = 111 }[/math] и т. д., и общий вид для них:
- [math]\displaystyle{ R_n = \frac{10^n-1}{9},\quad n = 1, 2, 3,\ldots }[/math]
Репьюниты являются частным случаем репдигитов.
Факторизация десятичных репьюнитов
(Простые числа в факторизациях, окрашенные в коричневый цвет, означают, что это новые простые числа в факторизациях Rn, которые не делят Rk для всех k < n[2])
|
|
|
Свойства
- На 2022 год известно только 11 простых репьюнитов [math]\displaystyle{ R_n }[/math] для n, равных[3]:
- Очевидно, что индексы простых репьюнитов также являются простыми числами.
- В результате умножения [math]\displaystyle{ R_i \cdot R_j }[/math] при [math]\displaystyle{ 9 \ge i \ge j }[/math] получается палиндромическое число вида [math]\displaystyle{ (12 \ldots j \ldots 21) }[/math] из [math]\displaystyle{ i + j - 1 }[/math] цифр с цифрой [math]\displaystyle{ j }[/math] посередине.
- Репьюнит 11 111 111 111 111 111 111 является самопорождённым числом.
- Всякое положительное кратное репьюнита [math]\displaystyle{ R_n }[/math] содержит не менее n ненулевых цифр.
- Репьюнит как сумма последовательных квадратов. Число 1111 можно представить в виде суммы квадратов нескольких последовательных натуральных чисел: [math]\displaystyle{ 1111=\sum\limits_{n=11}^{16} n^2 }[/math]. Очевидно, что единица также удовлетворяет данному условию. Других таких репьюнитов нет вплоть до длины 251 включительно.
В культуре
В честь репьюнитов назван астероид (11111) Репьюнит, порядковый номер которого — [math]\displaystyle{ R_5 }[/math].
Примечания
Литература
- Yates S. The mystique of repunits — Math. Mag., 1978, 51, 22—28.
- Ейтс С. Репьюниты и десятичные периоды — Мир, 1992.
- Кордемский Б. На часок к семейке репьюнитов // Квант. — 1997. — № 5. — С. 28—29.
- Н. М. Карпушина. Вне формата. Занимательная математика: гимнастика для ума или искусство удивлять?. — М.: АНО Редакция журнала «Наука и жизнь», 2013. — С. 115, 132-149. — 288 с. — ISBN 978-5-904129-07-1.