Квадратное треугольное число

В теории чисел квадратным треугольным числом (или треугольным квадратным числом) называется число, являющееся как треугольным, так и квадратным. Существует бесконечное число квадратных треугольных чисел.

Например, число 36 является и квадратным ([math]\displaystyle{ 6\times 6 }[/math]), и треугольным [math]\displaystyle{ \left(\frac {9\times 8}{2}\right) }[/math]:

Квадратные треугольные числа образуют последовательность:

0, 1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, … (последовательность A001110 в OEIS).

Формулы

Будем записывать N_k для k-го квадратного треугольного числа, s_k и t_k для сторон квадрата и треугольника соответственно, тогда

[math]\displaystyle{ N_k = s_k^2 = \frac{t_k(t_k+1)}{2}. }[/math]

Последовательности N_k, s_k и t_k присутствуют в OEIS (A001110, A001109 и A001108 соответственно).

В 1778 году Леонард Эйлер установил явную формулу

[math]\displaystyle{ N_k = \left( \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} \right)^2. }[/math]

Другие эквивалентные формулы, которые могут быть выведены из этой формулы:

[math]\displaystyle{ \begin{align} N_k &= {1 \over 32} \left( ( 1 + \sqrt{2} )^{2k} - ( 1 - \sqrt{2} )^{2k} \right)^2 = {1 \over 32} \left( ( 1 + \sqrt{2} )^{4k}-2 + ( 1 - \sqrt{2} )^{4k} \right) \\ &= {1 \over 32} \left( ( 17 + 12\sqrt{2} )^k -2 + ( 17 - 12\sqrt{2} )^k \right). \end{align} }[/math]

Соответствующие явные формулы для s_k и t_k:

[math]\displaystyle{ s_k = \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k - (3 - 2\sqrt{2})^k}{4\sqrt{2}} }[/math]

и

[math]\displaystyle{ t_k = \frac{(3 + 2\sqrt{2})^k + (3 - 2\sqrt{2})^k - 2}{4}. }[/math]

Уравнение Пелля

Связь квадратных треугольных чисел с уравнением Пелля можно получить следующим образом:

любое треугольное число имеет вид t(t + 1)/2, так что нужно найти t и s такие, что

[math]\displaystyle{ \frac{t(t+1)}{2} = s^2. }[/math]

Умножая левую и правую часть на 8 и выделяя полный квадрат, получим

[math]\displaystyle{ (2t+1)^2=8s^2+1, }[/math]

подставляя теперь x = 2t + 1 и y = 2s, мы получим диофантово уравнение

[math]\displaystyle{ x^2 - 2y^2 =1, }[/math]

которое является уравнением Пелля. Решениями этого уравнения служат числа Пелля P_k

[math]\displaystyle{ x = P_{2k} + P_{2k-1}, \quad y = P_{2k}; }[/math]

и потому все решения задаются формулами

[math]\displaystyle{ s_k = \frac{P_{2k}}{2}, \quad t_k = \frac{P_{2k} + P_{2k-1} -1}{2}, \quad N_k = \left( \frac{P_{2k}}{2} \right)^2. }[/math]

Имеется множество тождеств, связанных с числами Пелля, а вышеприведённые формулы переводят их в тождества с квадратными треугольными числами.

Рекуррентные отношения

Имеются рекуррентные отношения для квадратных треугольных чисел, как и для сторон соответствующих квадратов и треугольников. Мы имеем

[math]\displaystyle{ N_k = 34N_{k-1} - N_{k-2} + 2, N_0 = 0, N_1 = 1. }[/math]

[math]\displaystyle{ N_k = \left(6\sqrt{N_{k-1}} - \sqrt{N_{k-2}}\right)^2, N_0 = 1, N_1 = 36. }[/math]

А также

[math]\displaystyle{ s_k = 6s_{k-1} - s_{k-2}, s_0 = 0, s_1 = 1; }[/math]

[math]\displaystyle{ t_k = 6t_{k-1} - t_{k-2} + 2, t_0 = 0, t_1 = 1. }[/math]

Другие свойства

Все квадратные треугольные числа имеют вид b²c², где b / c — значение подходящей дроби для непрерывной дроби квадратного корня из 2.

А. В. Сильвестер (A. V. Sylwester) дал короткое доказательство бесконечности количества квадратных треугольных чисел, а именно:

Если треугольное число n(n+1)/2 является квадратом, то существует большее треугольное число:

[math]\displaystyle{ \frac{\bigl( 4n(n+1) \bigr) \bigl( 4n(n+1)+1 \bigr)}{2} = 2^2 \, \frac{n(n+1)}{2} \,(2n+1)^2. }[/math]

И это значение должно быть квадратом, поскольку является произведением трёх квадратов: [math]\displaystyle{ 2^2 }[/math] (очевидно), [math]\displaystyle{ (n(n+1))/2 }[/math] (n-ое треугольное число — по предположению является квадратом) и [math]\displaystyle{ (2n+1)^2 }[/math] (очевидно).

Производящей функцией для квадратных треугольных чисел будет:

[math]\displaystyle{ \frac{1+z}{(1-z)(z^2 - 34z + 1)} = 1 + 36z + 1225 z^2 + \cdots. }[/math]

Численные значения

С увеличением k, отношение t_k / s_k стремится к [math]\displaystyle{ \sqrt{2} \approx 1.41421 }[/math], а отношение соседних квадратных треугольных чисел стремится к [math]\displaystyle{ 17+12\sqrt{2} \approx 33.97056 }[/math].

[math]\displaystyle{ \begin{array}{rrrrll} k & N_k & s_k & t_k & t_k/s_k & N_k/N_{k-1} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \\ 2 & 36 & 6 & 8 & 1.33333 & 36\\ 3 & 1\,225 & 35 & 49 & 1.4 & 34.02778\\ 4 & 41\,616 & 204 & 288 & 1.41176 & 33.97224\\ 5 & 1\,413\,721 & 1\,189 & 1\,681 & 1.41379 & 33.97061\\ 6 & 48\,024\,900 & 6\,930 & 9\,800 & 1.41414 & 33.97056\\ 7 & 1\,631\,432\,881 & 40\,391 & 57\,121 & 1.41420 & 33.97056\\ \end{array} }[/math]

Ссылки

• Triangular numbers that are also square Архивная копия от 27 апреля 2006 на Wayback Machine at cut-the-knot
• Weisstein, Eric W. Square Triangular Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Michael Dummett’s solution Архивная копия от 13 февраля 2021 на Wayback Machine