Числа Каталана

Числа Катала́на — числовая последовательность, встречающаяся во многих задачах комбинаторики.

Последовательность названа в честь бельгийского математика Эжена Шарля Каталана, хотя была известна ещё Леонарду Эйлеру.

Числа Каталана [math]\displaystyle{ C_n }[/math] для [math]\displaystyle{ n=0,1,2,\dots }[/math] образуют последовательность:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, … (последовательность A000108 в OEIS)

Определения

n-е число Каталана [math]\displaystyle{ C_n }[/math] можно определить несколькими эквивалентными способами, такими как:

• Количество разбиений выпуклого (n+2)-угольника на треугольники непересекающимися диагоналями.
• Количество способов соединения 2n точек на окружности n непересекающимися хордами.
• Количество правильных скобочных последовательностей длины 2n, то есть таких последовательностей из n левых и n правых скобок, в которых количество открывающих скобок равно количеству закрывающих, и в любом её префиксе открывающих скобок не меньше, чем закрывающих.
  • Например, для n = 3 существует 5 таких последовательностей:

    ((())), ()(()), ()()(), (())(), (()())

    то есть [math]\displaystyle{ C_3=5 }[/math].

• Количество кортежей [math]\displaystyle{ (x_1, x_2, \ldots, x_n) }[/math] из n натуральных чисел, таких, что [math]\displaystyle{ x_1=1 }[/math] и [math]\displaystyle{ x_i \leqslant x_{i-1}+1 }[/math] при [math]\displaystyle{ 2 \leqslant i \leqslant n }[/math].
• Количество неизоморфных упорядоченных бинарных деревьев с корнем и n + 1 листьями.
• Количество всевозможных способов линеаризации декартова произведения 2 линейных упорядоченных множеств: из 2 и из n элементов.
• Количество путей Дика из точки(0,0) в точку (n, n).

Свойства

• Числа Каталана удовлетворяют рекуррентному соотношению:

  [math]\displaystyle{ C_0 = 1 \quad }[/math] и [math]\displaystyle{ \quad C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_i C_{n-1-i} }[/math] для [math]\displaystyle{ n \geqslant 1 }[/math].

Это соотношение легко получается из того, что любая непустая правильная скобочная последовательность однозначно представима в виде w = (w₁)w₂, где w₁, w₂ — правильные скобочные последовательности.

• Есть ещё одно рекуррентное соотношение:

[math]\displaystyle{ C_0 = 1 \quad }[/math] и [math]\displaystyle{ \quad C_n = \binom{2n}{n} - \sum_{k=0}^{n-1}C_k \binom{2n-2k-1}{n-k} }[/math].

• Ещё одна рекуррентная формула:

[math]\displaystyle{ C_0 = 1 \quad }[/math] и [math]\displaystyle{ \left( n+1 \right){{C}_{n}}={{4}^{n}}-\frac{1}{2}\sum\limits_{k=0}^{n-1}{{{4}^{n-k}}{{C}_{k}}} }[/math]. Если положить [math]\displaystyle{ c_{n}=\frac{C_{n}}{4^{n}} }[/math], то получается удобная для вычислений рекурсия [math]\displaystyle{ c_0=1 }[/math], [math]\displaystyle{ c_n=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{2\left(n+1\right)}\sum\limits_{k=0}^{n-1}{c_k} }[/math].

Отсюда следует: [math]\displaystyle{ \sum\limits_{k=0}^{\infty }{\frac{C_k}{4^k}=}\sum\limits_{k=0}^{\infty }{c_k}=2 }[/math].

• Также существует более простое рекуррентное соотношение:

  [math]\displaystyle{ C_0 = 1 \quad }[/math] и [math]\displaystyle{ \quad C_{n}=\frac{2(2n-1)}{n+1}C_{n-1} }[/math].

• Производящая функция чисел Каталана равна:

  [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} C_n z^n = \frac{1-\sqrt{1-4 z}}{2z}. }[/math]

• Числа Каталана можно выразить через биномиальные коэффициенты:

  [math]\displaystyle{ C_n = \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} = \frac{1}{2 n+1}{2 n+1 \choose n} = \binom{2 n}{n} - \binom{2 n}{n-1}. }[/math]

Другими словами, число Каталана [math]\displaystyle{ C_n }[/math] равно разности центрального биномиального коэффициента и соседнего с ним в той же строке треугольника Паскаля.

• Асимптотически [math]\displaystyle{ C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}. }[/math]

См. также

• Размещение
• Сочетание
• Перестановка

Ссылки

• С. К. Ландо. Лекции по комбинаторике. — МЦНМО, 1994.
• А. Шень. Разделы 2.6 и 2.7 // Программирование: теоремы и задачи. — M.: МЦНМО, 2017.
• Stanley, Richard P. (2013), Catalan addendum to Enumerative Combinatorics, Volume 2, <http://www-math.mit.edu/~rstan/ec/catadd.pdf> 
• Weisstein, Eric W. Catalan Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.