Октаэдральное число

Октаэдральное число — разновидность многогранных фигурных чисел. Поскольку октаэдр можно рассматривать как две квадратные пирамиды, склеенные своими основаниями (см. рисунок), октаэдральное число определяется как сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел^[1]:

[math]\displaystyle{ O_n = \Pi^{(4)}_{n-1} + \Pi^{(4)}_n }[/math]

Общая формула^[2] для [math]\displaystyle{ n }[/math]-го по порядку октаэдрального числа [math]\displaystyle{ O_n }[/math]:

[math]\displaystyle{ O_n = {n(2n^2 + 1) \over 3} }[/math]

Первые из октаэдральных чисел (последовательность A005900 в OEIS):

[math]\displaystyle{ 1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670 \dots }[/math]

Рекуррентная формула^[1]:

[math]\displaystyle{ O_{n+1} = O_n + (n+1)^2 + n; \quad O(1) = 1 }[/math]

Производящая функция последовательности^[1]:

[math]\displaystyle{ \frac{x(x+1)^2}{(x-1)^4} = \sum_{n=1}^{\infty} O_n x^n = x + 6x^2 + 19x^3 + \cdots; \quad |x|\lt 1 }[/math]

Связь с фигурными числами других типов

Данное выше определение связало октаэдральные числа с квадратными пирамидальными. Связь с тетраэдральными числами [math]\displaystyle{ \mathbb{T}_n }[/math]:

[math]\displaystyle{ O_n + 4\mathbb{T}_{n-1} = \mathbb{T}_{2n-1} }[/math]

Геометрически эта формула означает, что если наклеить по тетраэдру на четыре не смежные грани октаэдра, то получится тетраэдр удвоенного размера.

Ещё один вид связи^[1]:

[math]\displaystyle{ O_n = \mathbb{T}_n + 2\mathbb{T}_{n-1} + \mathbb{T}_{n-2} }[/math]

Эта формула вытекает из определения и того факта, что квадратное пирамидальное число есть сумма двух тетраэдральных. Другое её истолкование: октаэдр может быть разделён на четыре тетраэдра, каждый из которых имеет две изначально смежные грани.

Связь с тетраэдральными и кубическими числами:

[math]\displaystyle{ O_n+2\mathbb{T}_{n-1}=n^3 }[/math]

Разность двух последовательных октаэдральных чисел есть центрированное квадратное число^[1]:

[math]\displaystyle{ O_{n+1} - O_n = C^{4}_{n+1} = (n+1)^2 + n^2 }[/math]

Гипотеза Поллока

В 1850 году британский математик-любитель, член Королевского общества сэр Джонатан Фредерик Поллок. выдвинул предположение^[3], что каждое натуральное число является суммой не более семи октаэдральных чисел. Гипотеза Поллока до сих пор не доказана и не опровергнута. Компьютерная проверка показала, что, скорее всего:

309 — самое большое число, которое требует ровно семь слагаемых;
11 579 — последнее число, требующее шесть слагаемых;
65 285 683 — последнее число, требующее пять слагаемых.

Если гипотеза Поллока верна, то доказано, что должны существовать сколь угодно большие числа, нуждающиеся в четырёх слагаемых^[4]^[5].

Применение

В химии октаэдрические числа могут использоваться, чтобы описать числа атомов в октаэдрических кластерах (см. «магические кластеры»)^[6]^[7].

Примечания

↑ ^1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Деза Е., Деза М., 2016, с. 82—85.
↑ Conway, John Horton & Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer-Verlag, с. 50, ISBN 978-0-387-97993-9 .
↑ Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924. — JSTOR 111069.
↑ Деза Е., Деза М., 2016, с. 239.
↑ Dickson, L. E. (2005), Diophantine Analysis, vol. 2, History of the Theory of Numbers, New York: Dover, с. 22–23, <https://books.google.com/books?id=eNjKEBLt_tQC&pg=PA22> Архивная копия от 21 ноября 2021 на Wayback Machine.
↑ Teo, Boon K. & Sloane, N. J. A. (1985), Magic numbers in polygonal and polyhedral clusters, Inorganic Chemistry Т. 24 (26): 4545–4558, doi:10.1021/ic00220a025, <http://www2.research.att.com/~njas/doc/magic1/magic1.pdf> Архивная копия от 13 марта 2012 на Wayback Machine.
↑ Feldheim, Daniel L. & Foss, Colby A. (2002), Metal nanoparticles: synthesis, characterization, and applications, CRC Press, с. 76, ISBN 978-0-8247-0604-3, <https://books.google.com/books?id=-u9tVYWfRcMC&pg=PA76> Архивная копия от 27 июня 2014 на Wayback Machine.

Литература

Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Octahedral Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

[DD82-1] 1,0 ^1,1 ^1,2 ^1,3 ^1,4 Деза Е., Деза М., 2016, с. 82—85.

[bon-2] Conway, John Horton & Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Springer-Verlag, с. 50, ISBN 978-0-387-97993-9 .

[Pollock-3] Frederick Pollock. On the extension of the principle of Fermat's theorem on the polygonal numbers to the higher order of series whose ultimate differences are constant. With a new theorem proposed, applicable to all the orders (англ.) // Abstracts of the Papers Communicated to the Royal Society of London : journal. — 1850. — Vol. 5. — P. 922—924. — JSTOR 111069.

[_7673eaf0325ed17b-4] Деза Е., Деза М., 2016, с. 239.

[5] Dickson, L. E. (2005), Diophantine Analysis, vol. 2, History of the Theory of Numbers, New York: Dover, с. 22–23, <https://books.google.com/books?id=eNjKEBLt_tQC&pg=PA22> Архивная копия от 21 ноября 2021 на Wayback Machine.

[6] Teo, Boon K. & Sloane, N. J. A. (1985), Magic numbers in polygonal and polyhedral clusters, Inorganic Chemistry Т. 24 (26): 4545–4558, doi:10.1021/ic00220a025, <http://www2.research.att.com/~njas/doc/magic1/magic1.pdf> Архивная копия от 13 марта 2012 на Wayback Machine.

[nano-7] Feldheim, Daniel L. & Foss, Colby A. (2002), Metal nanoparticles: synthesis, characterization, and applications, CRC Press, с. 76, ISBN 978-0-8247-0604-3, <https://books.google.com/books?id=-u9tVYWfRcMC&pg=PA76> Архивная копия от 27 июня 2014 на Wayback Machine.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]