Постоянная Апери
Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π |
Постоя́нная Апери́ (англ. Apéry's constant, фр. Constante d'Apéry) — вещественное число, обозначаемое [math]\displaystyle{ \zeta(3) }[/math] (иногда [math]\displaystyle{ \zeta_3 }[/math]), которое равно сумме обратных к кубам целых положительных чисел и, следовательно, является частным значением дзета-функции Римана:
- [math]\displaystyle{ \zeta(3)=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} +\frac{1}{4^3} + \dots }[/math].
Численное значение постоянной выражается бесконечной непериодической десятичной дробью[1][2]:
- [math]\displaystyle{ \displaystyle\zeta(3) = }[/math] 1,202 056 903 159 594 285 399 738 161 511 449 990 764 986 292 340 498 881 792 271 555 3…
Названа в честь Роже Апери, доказавшего в 1978 году, что [math]\displaystyle{ \zeta(3) }[/math] является иррациональным числом (теорема Апери[3][4]). Изначальное доказательство носило сложный технический характер, позднее найден простой вариант доказательства с использованием многочленов Лежандра. Неизвестно, является ли постоянная Апери трансцендентным числом.
Эта постоянная давно привлекала интерес математиков — ещё в 1735 году Леонард Эйлер[5][6] вычислил её с точностью до 16 значащих цифр (1,202056903159594).
Приложения в математике и физике
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=Two_loop_diagram_producing_zeta3.png&width=250)
В математике постоянная Апери встречается во многих приложениях. В частности, величина, обратная [math]\displaystyle{ \zeta(3) }[/math], даёт вероятность того, что любые три случайным образом выбранных положительных целых числа будут взаимно просты — в том смысле, что при [math]\displaystyle{ N\to\infty }[/math] вероятность того, что три положительных целых числа, меньших, чем [math]\displaystyle{ {\textstyle{N}} }[/math] (и выбранных случайным образом) будут взаимно простыми, стремится к [math]\displaystyle{ 1/\zeta(3) }[/math].
Постоянная Апери естественным образом возникает в ряде проблем физики, включая поправки второго (и выше) порядков к аномальному магнитному моменту электрона в квантовой электродинамике. Например, результат для двухпетлевой диаграммы Фейнмана, изображённой на рисунке, даёт [math]\displaystyle{ 6\zeta(3) }[/math] (здесь предполагается 4-мерное интегрирование по импульсам внутренних петель, содержащих только безмассовые виртуальные частицы, а также соответствующая нормировка, включая степень импульса внешней частицы [math]\displaystyle{ k }[/math]). Другой пример — двумерная модель Дебая.
Связь с другими функциями
Постоянная Апери связана с частным значением полигамма-функции второго порядка:
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) = -\tfrac{1}{2} \, \psi^{(2)}(1) }[/math]
и появляется в разложении гамма-функции в ряд Тейлора:
- [math]\displaystyle{ \Gamma(1+\varepsilon) = e^{-\gamma\varepsilon} \left[ 1 + \tfrac{1}{12}\pi^2 \varepsilon^2 - \tfrac{1}{3} \zeta(3) \varepsilon^3 +O(\varepsilon^4) \right] }[/math],
где в виде [math]\displaystyle{ e^{-\gamma\varepsilon} }[/math] факторизуются вклады, содержащие постоянную Эйлера — Маскерони [math]\displaystyle{ {\textstyle{\gamma}} }[/math].
Постоянная Апери также связана со значениями трилогарифма [math]\displaystyle{ \mathrm{Li}_3(z) }[/math] (частный случай полилогарифма [math]\displaystyle{ \mathrm{Li}_n(z) }[/math]):
- [math]\displaystyle{ \mathrm{Li}_3(1) = \zeta(3) }[/math],
- [math]\displaystyle{ \mathrm{Li}_3\left(\tfrac12\right) = \tfrac16 (\ln 2)^3 - \tfrac1{12} \pi^2 \ln 2 + \tfrac78 \,\zeta(3) }[/math].
Представления в виде рядов
Некоторые другие ряды, члены которых обратны к кубам натуральных чисел, также выражаются через постоянную Апери:
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) = \tfrac{4}{3} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3} = \tfrac{4}{3} \left( 1-\frac{1}{2^3} + \frac{1}{3^3} -\frac{1}{4^3} + \cdots \right) }[/math],
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) = \tfrac{8}{7} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k+1)^3} = \tfrac{8}{7} \left( 1+\frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} +\frac{1}{7^3} + \cdots \right) }[/math].
Другие известные результаты — сумма ряда, содержащего гармонические числа [math]\displaystyle{ {\textstyle{H_k}} }[/math]:
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) = \tfrac{1}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{H_k}{k^2} }[/math],
а также двукратная сумма:
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) = \tfrac{1}{2} \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{jk(j+k)} }[/math].
Для доказательства иррациональности [math]\displaystyle{ \zeta(3) }[/math] Роже Апери[3] пользовался представлением:
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) = \tfrac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(k!)^2}{k^3 (2k)!} = \tfrac{5}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k^3 \binom{2k}{k}} }[/math],
где [math]\displaystyle{ {\textstyle{\binom{2k}{k}}=\frac{(2k)!}{k!^2}} }[/math] — биномиальный коэффициент.
В 1773 году Леонард Эйлер[7] привёл представление в виде ряда[8] (которое впоследствии было несколько раз заново открыто в других работах):
- [math]\displaystyle{ \zeta(3)=\tfrac{1}{7} \pi^2 \left[ 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right] }[/math],
в котором значения дзета-функции Римана чётных аргументов могут быть представлены как [math]\displaystyle{ {\textstyle{\zeta(2k) = (-1)^{k+1} (2\pi)^{2k} B_{2k}/(2(2k)!)}} }[/math], где [math]\displaystyle{ {\textstyle{B_{2k}}} }[/math] — числа Бернулли.
Рамануджан дал несколько представлений в виде рядов, которые замечательны тем, что они обеспечивают несколько новых значащих цифр на каждой итерации. Они включают в себя[9]:
- [math]\displaystyle{ \zeta(3)=\tfrac{7}{180}\pi^3 -2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)} }[/math]
Саймон Плафф получил ряды другого типа[10]
- [math]\displaystyle{ \zeta(3)= 14 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 \sinh(\pi k)} -\tfrac{11}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} -1)} -\tfrac{7}{2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3 (e^{2\pi k} +1)} \; , }[/math]
а также аналогичные представления для других постоянных [math]\displaystyle{ \zeta(2n+1) }[/math].
Были также получены другие представления в виде рядов, включая:
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) = \tfrac{1}{4} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{(56k^2-32k+5)(k-1)!^3}{(2k-1)^2(3k)!} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \zeta(3)=\tfrac{8}{7}-\tfrac{8}{7}\sum_{k=1}^\infty \frac{{\left( -1 \right) }^k\,2^{-5 + 12\,k}\,k\, \left( -3 + 9\,k + 148\,k^2 - 432\,k^3 - 2688\,k^4 + 7168\,k^5 \right) \, {k!}^3\,{\left( -1 + 2\,k \right) !}^6}{{\left( -1 + 2\,k \right) }^3\, \left( 3\,k \right) !\,{\left( 1 + 4\,k \right) !}^3} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) = \tfrac{1}{64} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{(205k^2 + 250k + 77)\cdot k!^{10}}{(2k+1)!^5} }[/math]
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) = \tfrac{1}{24} \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{((2k+1)!(2k)!k!)^3 (126392k^5 + 412708k^4 + 531578k^3 + 336367k^2 + 104000k + 12463)}{(3k+2)!\cdot (4k+3)!^3} }[/math]
Некоторые из этих представлений были использованы для вычисления постоянной Апери со многими миллионами значащих цифр.
В 1998 году получено представление в виде ряда[11], которое даёт возможность вычислить произвольный бит постоянной Апери.
Представления в виде интегралов
Существует также большое количество различных интегральных представлений для постоянной Апери, начиная от тривиальных формул типа
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) =\frac{1}{2}\int\limits_0^\infty \! \frac{x^2}{e^x-1}\, dx =\frac{2}{3}\int\limits_0^\infty \! \frac{x^2}{e^x+1}\, dx }[/math]
или
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) =\int\limits_0^1 \! \frac{\ln(x)\ln(1-x)}{x}\, dx }[/math]
следующих из простейших интегральных определений дзета-функции Римана[12], до достаточно сложных, таких, как
- [math]\displaystyle{ \zeta(3)=\pi\!\!\int\limits_{0}^{\infty} \! \frac{\cos(2\,\mathrm{arctg}\,x)}{\left(x^2+1\right)\big[\mathrm{ch}\big(\frac{1}{2}\pi x\big)\big]^2}\, dx\qquad }[/math] (Иоган Йенсен[13]),
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) =-\frac{1}{2}\int\limits_0^1 \!\!\int\limits_0^1 \frac{\ln(xy)}{\,1-xy\,}\, dx \, dy\qquad }[/math] (Фритс Бёкерс[14]),
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) =\,\frac{8\pi^2}{7}\!\!\int\limits_0^1 \! \frac{x\left(x^4-4x^2+1\right)\ln\ln\frac{1}{x}}{\,(1+x^2)^4\,}\, dx \qquad }[/math] (Ярослав Благушин[15]).
Цепные дроби
Цепная дробь для константы Апери (последовательность A013631 в OEIS) выглядит следующим образом:
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) = [1; 4, 1, 18, 1, 1, 1, 4, 1, 9, 9, 2, 1, 1, 1, 2, 7, 1, 1, 7, 11, 1, 1, 1,\cdots] = }[/math]
- [math]\displaystyle{ = 1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{18+\cfrac{1}{1+\ldots}}}}\; }[/math]
Первую обобщённую цепную дробь для константы Апери, имеющую закономерность, открыли независимо Стилтьес и Рамануджан:
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) = 1 + \cfrac{1}{4+\cfrac{1^3}{1+\cfrac{1^3}{12+\cfrac{2^3}{1 + \cfrac{2^3}{20+\cfrac{3^3}{1+\cfrac{3^3}{28+\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^3}{1+\cfrac{n^3}{4(2n+1)+\dots}}}}}}}}}} }[/math]
Она может быть преобразована к виду:
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) = 1 + \cfrac{1}{5-\cfrac{1^6}{21-\cfrac{2^6}{55-\cfrac{3^6}{119-\cfrac{4^6}{225-\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^6}{(2n^3+3n^2+11n+5)+\dots}}}}}}} }[/math]
Апери смог ускорить сходимость цепной дроби для константы:
- [math]\displaystyle{ \zeta(3) = \frac{6}{5}-\cfrac{1^6}{117 - \cfrac{2^6}{535-\cfrac{3^6}{1436-\cfrac{4^6}{3105-\cfrac{\dots}{\dots+\cfrac{n^6}{(34n^3+51n^2+27n+5)+\dots}}}}}} }[/math][16][17]
Вычисление десятичных цифр
Число известных значащих цифр постоянной Апери [math]\displaystyle{ \zeta(3) }[/math] значительно выросло за последние десятилетия благодаря как увеличению компьютерных мощностей, так и улучшению алгоритмов[18].
Дата | Количество значащих цифр | Авторы вычисления |
---|---|---|
1735 | 16 | Леонард Эйлер[5][6] |
1887 | 32 | Томас Иоаннес Стилтьес |
1996 | 520 000 | Greg J. Fee & Simon Plouffe |
1997 | 1 000 000 | Bruno Haible & Thomas Papanikolaou |
1997, май | 10 536 006 | Patrick Demichel |
1998, февраль | 14 000 074 | Sebastian Wedeniwski |
1998, март | 32 000 213 | Sebastian Wedeniwski |
1998, июль | 64 000 091 | Sebastian Wedeniwski |
1998, декабрь | 128 000 026 | Sebastian Wedeniwski[19] |
2001, сентябрь | 200 001 000 | Shigeru Kondo & Xavier Gourdon |
2002, февраль | 600 001 000 | Shigeru Kondo & Xavier Gourdon |
2003, февраль | 1 000 000 000 | Patrick Demichel & Xavier Gourdon |
2006, апрель | 10 000 000 000 | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo[20] |
2009, январь | 15 510 000 000 | Alexander J. Yee & Raymond Chan[21] |
2009, март | 31 026 000 000 | Alexander J. Yee & Raymond Chan[21] |
2010, сентябрь | 100 000 001 000 | Alexander J. Yee[22] |
2013, сентябрь | 200 000 001 000 | Robert J. Setti[22] |
2015, август | 250 000 000 000 | Ron Watkins[22] |
2015, декабрь | 400 000 000 000 | Dipanjan Nag[22] |
2017, август | 500 000 000 000 | Ron Watkins[22] |
2019, май | 1 000 000 000 000 | Ian Cutress[22] |
2020, июль | 1 200 000 000 000 | Seungmin Kim[23] |
Другие значения дзета-функции в нечётных точках
Существует много исследований, посвящённых другим значениям дзета-функции Римана в нечётных точках [math]\displaystyle{ \zeta(2n+1) }[/math] при [math]\displaystyle{ n\gt 1 }[/math]. В частности, в работах Вадима Зудилина и Тангая Ривоаля показано, что иррациональными является бесконечное множество чисел [math]\displaystyle{ \zeta(2n+1) }[/math][24], а также что по крайней мере одно из чисел [math]\displaystyle{ \zeta(5) }[/math], [math]\displaystyle{ \zeta(7) }[/math], [math]\displaystyle{ \zeta(9) }[/math], или [math]\displaystyle{ \zeta(11) }[/math] является иррациональным[25].
Примечания
- ↑ Simon Plouffe, Zeta(3) or Apery constant to 2000 places, <http://www.worldwideschool.org/library/books/sci/math/MiscellaneousMathematicalConstants/chap97.html>. Проверено 8 февраля 2011. Архивная копия от 5 февраля 2008 на Wayback Machine
- ↑ последовательность A002117 в OEIS
- ↑ 3,0 3,1 Roger Apéry (1979), Irrationalité de ζ(2) et ζ(3), Astérisque Т. 61: 11–13
- ↑ A. van der Poorten (1979), A proof that Euler missed... Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report, The Mathematical Intelligencer Т. 1: 195–203, doi:10.1007/BF03028234, <http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf>. Проверено 8 февраля 2011. Архивная копия от 6 июля 2011 на Wayback Machine
- ↑ 5,0 5,1 Leonhard Euler (1741), Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali (13 октября 1735), Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae Т. 8: 173–204, <http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E047.pdf>. Проверено 9 февраля 2011. Архивная копия от 23 июня 2011 на Wayback Machine
- ↑ 6,0 6,1 Leonhard Euler (translation by Jordan Bell, 2008), Finding the sum of any series from a given general term, arXiv:0806.4096, <http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0806/0806.4096v1.pdf>. Проверено 9 февраля 2011. Архивная копия от 28 июня 2021 на Wayback Machine
- ↑ Leonhard Euler (1773), Exercitationes analyticae, Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae Т. 17: 173–204, <http://math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E432.pdf>. Проверено 8 февраля 2011. Архивная копия от 17 сентября 2006 на Wayback Machine
- ↑ H. M. Srivastava (2000), Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions, Taiwanese Journal of Mathematics Т. 4 (4): 569–598, ISSN 1027-5487, <http://www.math.nthu.edu.tw/~tjm/abstract/0012/tjm0012_3.pdf>. Проверено 8 февраля 2011. Архивная копия от 19 июля 2011 на Wayback Machine
- ↑ Bruce C. Berndt (1989), Ramanujan's notebooks, Part II, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96794-3, <https://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96794-3>. Проверено 8 февраля 2011. Архивная копия от 17 августа 2010 на Wayback Machine
- ↑ Simon Plouffe (1998), Identities inspired from Ramanujan Notebooks II, <http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/identities.html>. Проверено 8 февраля 2011. Архивная копия от 30 января 2009 на Wayback Machine
- ↑ D. J. Broadhurst (1998), Polylogarithmic ladders, hypergeometric series and the ten millionth digits of ζ(3) and ζ(5), arXiv (math.CA/9803067), <http://arxiv.org/abs/math.CA/9803067>. Проверено 8 февраля 2011. Архивная копия от 13 июля 2019 на Wayback Machine
- ↑ Г. М. Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления (7-ое изд.), с. 769. Наука, Москва, 1969
- ↑ Johan Ludwig William Valdemar Jensen. Note numéro 245. Deuxième réponse. Remarques relatives aux réponses du MM. Franel et Kluyver. L’Intermédiaire des mathématiciens, tome II, pp. 346—347, 1895.
- ↑ F. Beukers A Note on the Irrationality of ζ(2) and ζ(3). Bull. London Math. Soc. 11, pp. 268—272, 1979.
- ↑ Iaroslav V. Blagouchine Rediscovery of Malmsten’s integrals, their evaluation by contour integration methods and some related results. The Ramanujan Journal, vol. 35, no. 1, pp. 21-110, 2014. Архивная копия от 12 декабря 2017 на Wayback Machine PDF Архивная копия от 7 мая 2021 на Wayback Machine
- ↑ Steven R. Finch Mathematical Constants 1.6.6 . Дата обращения: 10 августа 2020. Архивировано 28 ноября 2020 года.
- ↑ van der Poorten, Alfred (1979), A proof that Euler missed ... Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3), The Mathematical Intelligencer Т. 1 (4): 195–203, doi:10.1007/BF03028234, <https://web.archive.org/web/20110706114957/http://www.maths.mq.edu.au/~alf/45.pdf>
- ↑ X. Gourdon & P. Sebah, Constants and Records of Computation, numbers.computation.free.fr, <http://numbers.computation.free.fr/Constants/constants.html>. Проверено 8 февраля 2011. Архивная копия от 15 января 2011 на Wayback Machine
- ↑ Sebastian Wedeniwski (2001), The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places, Project Gutenberg
- ↑ Xavier Gourdon & Pascal Sebah (2003), The Apéry's constant: ζ(3), <http://numbers.computation.free.fr/Constants/Zeta3/zeta3.html>. Проверено 8 февраля 2011. Архивная копия от 13 ноября 2008 на Wayback Machine
- ↑ 21,0 21,1 Alexander J. Yee & Raymond Chan (2009), Large Computations, <http://www.numberworld.org/nagisa_runs/computations.html>. Проверено 8 февраля 2011. Архивная копия от 9 декабря 2009 на Wayback Machine
- ↑ 22,0 22,1 22,2 22,3 22,4 22,5 Alexander J. Yee (2015), Zeta(3) — Apery's Constant, <http://www.numberworld.org/digits/Zeta%283%29/>. Проверено 24 ноября 2018. Архивная копия от 18 ноября 2018 на Wayback Machine
- ↑ Apéry’s Constant | Polymath Collector . Дата обращения: 27 февраля 2021. Архивировано 17 октября 2020 года.
- ↑ T. Rivoal (2000), La fonction zeta de Riemann prend une infnité de valuers irrationnelles aux entiers impairs, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris Sér. I Math. Т. 331: 267–270
- ↑ В. В. Зудилин. Одно из чисел ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) иррационально // УМН. — 2001. — Т. 56, вып. 4(340). — С. 149–150.
Ссылки
- Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин. I.2.4. Диофантовы приближения и иррациональность ζ(3) // Введение в теорию чисел. — ВИНИТИ, 1990. — Т. 49. — С. 83—89. — 341 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
- V. Ramaswami (1934), Notes on Riemann's ζ-function, J. London Math. Soc. Т. 9: 165–169, doi:10.1112/jlms/s1-9.3.165, <http://jlms.oxfordjournals.org/content/s1-9/3/165.full.pdf>
- Weisstein, Eric W. Apéry's constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.