Константа Миллса

Константа Миллса A — действительное число, одна из констант в теории чисел. Константа Миллса определяется как минимальное действительное число [math]\displaystyle{ A\gt 1 }[/math] такое, что для всех целых положительных [math]\displaystyle{ n }[/math] числа

[math]\displaystyle{ P_n = \left\lfloor A^{3^n} \right\rfloor, }[/math]

являются простыми, где [math]\displaystyle{ \lfloor \cdot \rfloor }[/math] обозначает целую часть (округление вниз).

Неизвестно, является ли A рациональным числом.

Константа названа в честь Уильяма Миллса, доказавшего её существование в 1947 году . Точное значение этой константы неизвестно, однако, если предположить, что гипотеза Римана верна, то значение можно найти: A = 1,3063778838630806904686144926….

Гипотеза Римана подразумевает через её следствие — гипотезу Линделёфа,^{[неоднозначно]} что существуют простые числа между кубами двух последовательных натуральных чисел.

Простые числа Миллса

Простые числа Миллса — это простые числа, найденные по указанной выше формуле при условии верности гипотезы Римана:^{[неоднозначно]}

• [math]\displaystyle{ n = 1 \;\;\; P_n = 2 }[/math]
• [math]\displaystyle{ n = 2 \;\;\; P_n = 11 }[/math]
• [math]\displaystyle{ n = 3 \;\;\; P_n = 1\,361 }[/math]
• [math]\displaystyle{ n = 4 \;\;\; P_n = 2\,521\,008\,887 }[/math]
• [math]\displaystyle{ n = 5 \;\;\; P_n = 16\,022\,236\,204\,009\,818\,131\,831\,320\,183 }[/math]
• [math]\displaystyle{ n = 6 \;\;\; P_n = 4\,113\,101\,149\,215\,104\,800\,030\,529\,537\,915\,953\,170\,486\,139\,623\,539\,759\,933\,135\,949\,994\,882\,770\,404\,074\,832\,568\,499 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \ldots }[/math].

Есть и другой факт относительно этих чисел: если [math]\displaystyle{ P_i }[/math] — i-е число в этой последовательности, то [math]\displaystyle{ P_i }[/math] может быть найдено как наименьшее простое число, следующее за [math]\displaystyle{ P_{i-1}^3 }[/math]. Он может быть использован для получения оценочных неравенств на константу Миллса.

Численные вычисления

В 2005 году было высчитано более семи тысяч знаков A в предположении верности гипотезы Римана.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Mills' Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Who remembers the Mills number?, E. Kowalski.
• Awesome Prime Number Constant, Numberphile.