Тригонометрическое число

В математике тригонометрическое число (англ. trigonometric number) — иррациональное число, полученное как синус или косинус рационального числа оборотов или, что то же самое, синус или косинус угла, величина которого в радианах является рациональным кратным числа пи, или синус или косинус рационального числа градусов.

Вещественное число, отличное от 0, 1, −1, является тригонометрическим числом тогда и только тогда, когда оно является вещественной частью корня из единицы.

Доказательства теорем об этих числах дал канадско-американский математик Айвен Нивен, впоследствии его доказательства улучшили и упростили Ли Чжоу и Любомир Марков.

Любое тригонометрическое число может быть выражено через радикалы. Таким образом, каждое тригонометрическое число является алгебраическим числом. Последнее утверждение можно доказать, взяв за основу формулу Муавра для случая [math]\displaystyle{ \theta = 2\pi k/n }[/math] для взаимно простых k и n:

[math]\displaystyle{ (\cos \theta + i \sin \theta )^n =1. }[/math]

Расширение левой части и приравнивание вещественных частей дает уравнение в [math]\displaystyle{ \cos \theta }[/math] и [math]\displaystyle{ \sin^2 \theta; }[/math] подставляя [math]\displaystyle{ \sin^2 \theta =1-\cos^2 \theta }[/math], получаем уравнение полинома, имеющее [math]\displaystyle{ \cos \theta }[/math] своим решением, поэтому последнее по определению является алгебраическим числом. Также [math]\displaystyle{ \sin \theta }[/math] является алгебраическим числом, поскольку он равен алгебраическому числу [math]\displaystyle{ \cos(\theta-\pi /2). }[/math] Наконец, [math]\displaystyle{ \tan \theta }[/math], где [math]\displaystyle{ \theta }[/math] является рациональным, кратным [math]\displaystyle{ \pi }[/math], является алгебраическим, что можно получить, приравнивая мнимые части двух сторон разложения уравнения Муавра друг к другу и разделив на [math]\displaystyle{ \cos^n \theta }[/math] для получения полиномиального уравнения в [math]\displaystyle{ \tan \theta. }[/math]