Полилогарифм

Полилогарифм — специальная функция, обозначаемая [math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_s(z) }[/math] и определяемая как бесконечный степенной ряд

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_s(z) = \sum_{k=1}^\infty {z^k \over k^s}, }[/math]

где s и z — комплексные числа, причём [math]\displaystyle{ |z|\lt 1 }[/math]. Для иных z делается обобщение с помощью аналитического продолжения.

Карта высот полилогарифма на комплексной плоскости
$[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{-3}(z) }[/math]$

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{-3}(z) }[/math]
$[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{-2}(z) }[/math]$

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{-2}(z) }[/math]
$[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{-1}(z) }[/math]$

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{-1}(z) }[/math]
$[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{0}(z) }[/math]$

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{0}(z) }[/math]
$[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{1}(z) }[/math]$

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{1}(z) }[/math]
$[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{2}(z) }[/math]$

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{2}(z) }[/math]
$[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{3}(z) }[/math]$

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{3}(z) }[/math]

Частным случаем является [math]\displaystyle{ s=1 }[/math], при котором [math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{1}(z)=-\ln(1-z) }[/math]. Функции [math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{2}(z) }[/math] и [math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{3}(z) }[/math] получили названия дилогарифма и трилогарифма соответственно. Для полилогарифмов различных порядков справедливо соотношение

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{s+1}(z) = \int_0^z \frac {\operatorname{Li}_s(t)}{t}\,\mathrm{d}t. }[/math]

Альтернативными определениями полилогарифма являются интегралы Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна.

Частные значения

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_1(\tfrac12) = \ln 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_2(\tfrac12) = \tfrac1{12} \pi^2 - \tfrac12 (\ln 2)^2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_3(\tfrac12) = \tfrac16 (\ln 2)^3 - \tfrac1{12} \pi^2 \ln 2 + \tfrac78 \,\zeta(3) \, }[/math] (где [math]\displaystyle{ \,\zeta(3) \, }[/math] — постоянная Апери)

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{1}(z) = -\ln(1-z) }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{0}(z) = {z \over 1-z} }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{-1}(z) = {z \over (1-z)^2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{-2}(z) = {z \,(1+z) \over (1-z)^3} }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{-3}(z) = {z \,(1+4z+z^2) \over (1-z)^4} }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{Li}_{-4}(z) = {z \,(1+z) (1+10z+z^2) \over (1-z)^5} \,. }[/math]

Литература

Abel, N.H. Œuvres complètes de Niels Henrik Abel − Nouvelle édition, Tome II (фр.) / Sylow, L.; Lie, S.. — Christiania [Oslo]: Grøndahl & Søn^[англ.], 1881. — С. 189—193. (this 1826 manuscript was only published posthumously.)
Abramowitz, M.; Stegun, I.A. Handbook of Mathematical Functions^[англ.] with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables (англ.). — New York: Dover Publications, 1972. — ISBN 0-486-61272-4.
Bailey, D.H.^[англ.]; Borwein, P.B.^[англ.]; Plouffe, S.^[англ.]. On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.] : journal. — 1997. — April (vol. 66, no. 218). — P. 903—913. — doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9.
Bailey, D.H. & Broadhurst, D.J. (June 20, 1999), A Seventeenth-Order Polylogarithm Ladder, arΧiv:math.CA/9906134 [math.CA].
Berndt, B.C. Ramanujan's Notebooks, Part IV (неопр.). — New York: Springer-Verlag, 1994. — С. 323—326. — ISBN 0-387-94109-6.
Boersma, J.; Dempsey, J.P. On the evaluation of Legendre's chi-function (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.] : journal. — 1992. — Vol. 59, no. 199. — P. 157—163. — doi:10.2307/2152987. — JSTOR 2152987.
Borwein, J.M.; Bradley, D.M.; Broadhurst, D.J.; Lisonek, P. Special Values of Multiple Polylogarithms (англ.) // Transactions of the American Mathematical Society. — 2001. — Vol. 353, no. 3. — P. 907—941. — doi:10.1090/S0002-9947-00-02616-7.
Clunie, J. On Bose-Einstein functions (англ.) // Proceedings of the Physical Society, Section A^[англ.] : journal. — 1954. — Vol. 67, no. 7. — P. 632—636. — doi:10.1088/0370-1298/67/7/308.
Cohen, H.; Lewin, L.; Zagier, D. A Sixteenth-Order Polylogarithm Ladder (неопр.) // Experimental Mathematics. — 1992. — Т. 1, № 1. — С. 25—34. Архивировано 1 марта 2012 года.
Coxeter, H.S.M.^[англ.]. The functions of Schläfli and Lobatschefsky (неопр.) // Quarterly Journal of Mathematics (Oxford). — 1935. — Т. 6, № 1. — С. 13—29. — doi:10.1093/qmath/os-6.1.13.
Cvijovic, D.; Klinowski, J. Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms (англ.) // Proceedings of the American Mathematical Society : journal. — 1997. — Vol. 125, no. 9. — P. 2543—2550. — doi:10.1090/S0002-9939-97-04102-6.
Cvijovic, D. New integral representations of the polylogarithm function (англ.) // Proceedings of the Royal Society (London), Series A : journal. — 2007. — Vol. 463, no. 2080. — P. 897—905. — doi:10.1098/rspa.2006.1794.
Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F.; Tricomi, F.G. Higher Transcendental Functions, Vol. 1 (неопр.). — New York: Krieger, 1981.
Fornberg, B.; Kölbig, K.S. Complex zeros of the Jonquiére or polylogarithm function (англ.) // Mathematics of Computation^[англ.] : journal. — 1975. — Vol. 29, no. 130. — P. 582—599. — doi:10.2307/2005579. — JSTOR 2005579.
GNU Scientific Library. Reference Manual (неопр.) (2010). Дата обращения: 13 июня 2010. Архивировано 14 мая 2012 года.
Gradshteyn, I.S.; Ryzhik, I.M. Tables of Integrals, Series, and Products (англ.). — 4th. — New York: Academic Press, 1980. — ISBN 0-12-294760-6.
Guillera, J.; Sondow, J. Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch's transcendent (англ.) // The Ramanujan Journal^[англ.] : journal. — 2008. — Vol. 16, no. 3. — P. 247—270. — doi:10.1007/s11139-007-9102-0. — arXiv:math.NT/0506319.
Hain, R.M. (March 25, 1992), Classical polylogarithms, arΧiv:alg-geom/9202022 [alg-geom].
Jahnke, E.; Emde, F. Tables of Functions with Formulae and Curves (англ.). — 4th. — New York: Dover Publications, 1945.
Jonquière, A. Note sur la série [math]\displaystyle{ \scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^s} }[/math] (фр.) // Bulletin de la Société Mathématique de France^[англ.]. — 1889. — Т. 17. — С. 142—152.
Kölbig, K.S.; Mignaco, J.A.; Remiddi, E. On Nielsen's generalized polylogarithms and their numerical calculation (англ.) // BIT : journal. — 1970. — Vol. 10. — P. 38—74. — doi:10.1007/BF01940890.
Kirillov, A.N. Dilogarithm identities (англ.) // Progress of Theoretical Physics Supplement^[англ.] : journal. — 1995. — Vol. 118. — P. 61—142. — doi:10.1143/PTPS.118.61. — arXiv:hep-th/9408113.
Lewin, L. Dilogarithms and Associated Functions (неопр.). — London: Macdonald, 1958.
Lewin, L. Polylogarithms and Associated Functions (неопр.). — New York: North-Holland, 1981. — ISBN 0-444-00550-1.
Lewin, L. (Ed.). Structural Properties of Polylogarithms (неопр.). — Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1991. — Т. 37. — (Mathematical Surveys and Monographs). — ISBN 0-8218-1634-9.
Markman, B. The Riemann Zeta Function (неопр.) // BIT. — 1965. — Т. 5. — С. 138—141.
Maximon, L.C. The Dilogarithm Function for Complex Argument (неопр.) // Proceedings of the Royal Society (London), Series A. — 2003. — Т. 459, № 2039. — С. 2807—2819. — doi:10.1098/rspa.2003.1156.
McDougall, J.; Stoner, E.C. The computation of Fermi-Dirac functions (неопр.) // Philosophical Transactions of the Royal Society (London), Series A. — 1938. — Т. 237, № 773. — С. 67—104. — doi:10.1098/rsta.1938.0004.
Nielsen, N. Der Eulersche Dilogarithmus und seine Verallgemeinerungen (нем.) // Nova Acta Leopoldina. — Halle – Leipzig, Germany: Kaiserlich-Leopoldinisch-Carolinische Deutsche Akademie der Naturforscher, 1909. — Т. XC, № 3. — С. 121—212.
Prudnikov, A.P.; Marichev, O.I.; Brychkov, Yu.A. Integrals and Series, Vol. 3: More Special Functions (англ.). — Newark, NJ: Gordon and Breach, 1990. — ISBN 2-88124-682-6. (see § 1.2, «The generalized zeta function, Bernoulli polynomials, Euler polynomials, and polylogarithms», p. 23.)
Robinson, J.E. Note on the Bose-Einstein integral functions (неопр.) // Physical Review, Series 2. — 1951. — Т. 83, № 3. — С. 678—679. — doi:10.1103/PhysRev.83.678.
Rogers, L.J. On function sum theorems connected with the series [math]\displaystyle{ \scriptstyle \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^2} }[/math] (англ.) // Proceedings of the London Mathematical Society (2) : journal. — 1907. — Vol. 4, no. 1. — P. 169—189. — doi:10.1112/plms/s2-4.1.169.
Erwin Schrödinger. Statistical Thermodynamics (неопр.). — 2nd. — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1952.
Truesdell, C. On a function which occurs in the theory of the structure of polymers (англ.) // Annals of Mathematics, Series 2 : journal. — 1945. — Vol. 46, no. 1. — P. 144—157. — doi:10.2307/1969153. — JSTOR 1969153.
Vepstas, L. (February 2007), An efficient algorithm for accelerating the convergence of oscillatory series, useful for computing the polylogarithm and Hurwitz zeta functions, arΧiv:math.CA/0702243 [math.CA].
Whittaker, E.T.; Watson, G.N. A Course of Modern Analysis (неопр.). — 4th. — Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1952.
Wood, D.C. The Computation of Polylogarithms. Technical Report 15-92* (неопр.) (PS). Canterbury, UK: University of Kent Computing Laboratory (June 1992). Дата обращения: 1 ноября 2005. Архивировано 14 мая 2012 года.
D. Zagier. The dilogarithm function in geometry and number theory // Number Theory and Related Topics: papers presented at the Ramanujan Colloquium, Bombay, 1988. — Bombay: Tata Institute of Fundamental Research and Oxford University Press, 1989. — Vol. 12. — P. 231–249.

(also appeared as «The remarkable dilogarithm» in Journal of Mathematical and Physical Sciences 22 (1988), pp. 131—145, and as Chapter I of (Zagier 2007).)

Zagier, D. Frontiers in Number Theory, Physics, and Geometry II – On Conformal Field Theories, Discrete Groups and Renormalization (англ.) / Cartier, P.; Julia, B.; Moussa, P.; Vanhove, P.. — Berlin: Springer-Verlag, 2007. — P. 3—65. — ISBN 978-3-540-30307-7.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Polylogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Weisstein, Eric W. Dilogarithm (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.