Омега (постоянная)

Постоянная омега — это математическая константа, определяемая как единственное действительное число, которое удовлетворяет уравнению

[math]\displaystyle{ \Omega e^{\Omega} = 1 }[/math].

Это значение [math]\displaystyle{ W(1) }[/math], где [math]\displaystyle{ W }[/math] — W-функция Ламберта. Название происходит от альтернативного названия W-функции Ламберта — омега-функции. Числовое значение [math]\displaystyle{ \Omega }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Omega = 0.567\,143\,290\,409\,783\,872\,999\,968\,662\,210\,355\,549\,753\,815\,787\,186\,512\,508\,135\,131\,079\ldots }[/math] (последовательность A030178 в OEIS)

[math]\displaystyle{ \frac{1}{\Omega} = 1.763\,222\,834\,351\,896\,710\,225\,201\,776\,951\,707\,080\,436\,017\,986\,667\,473\,634\,570\,456\,905\ldots }[/math] (последовательность A030797 в OEIS)

Свойства

Представление в виде неподвижной точки отображения

Определяющее соотношение можно выразить, например, как

[math]\displaystyle{ \ln\biggl(\frac{1}{\Omega}\biggr) = \Omega }[/math]

или

[math]\displaystyle{ -\ln(\Omega) = \Omega }[/math]

или

[math]\displaystyle{ e^{-\Omega} = \Omega }[/math]

Вычисление

Можно вычислить [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] итеративно, начав с первоначального предположения [math]\displaystyle{ \Omega_0 }[/math] и рассмотрев последовательность

[math]\displaystyle{ \Omega_{n+1} = e^{-\Omega_n} }[/math]

Эта последовательность сходится к [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], когда n стремится к бесконечности. Это потому, что [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] является притягивающей неподвижной точкой функции [math]\displaystyle{ e^{-x} }[/math]. Однако намного эффективнее использовать рекуррентное соотношение

[math]\displaystyle{ \Omega_{n+1} = \frac{1 + \Omega_n}{1 + e^{\Omega_n}} }[/math],

потому что функция

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1+x}{1+e^x} }[/math],

помимо того, что имеет ту же неподвижную точку, также имеет производную, которая там обращается в нуль. Это гарантирует квадратичную сходимость; то есть количество правильных цифр примерно удваивается с каждой итерацией.

Используя метод Галлея, [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] можно аппроксимировать с помощью кубической сходимости:

[math]\displaystyle{ \Omega_{j+1}=\Omega_j-\frac{\Omega_j e^{\Omega_j}-1}{e^{\Omega_j}(\Omega_j+1)-\frac{(\Omega_j+2)(\Omega_je^{\Omega_j}-1)}{2\Omega_j+2}} }[/math].

Интегральные представления

Тождество Виктора Адамчика:

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty\frac{dt}{(e^t-t)^2+\pi^2} = \frac{1}{1+\Omega} }[/math].

Еще одно соотношение, связанное с И. Мезо:

[math]\displaystyle{ \Omega=\frac{1}{\pi}\operatorname{Re}\int_0^\pi\log\left(\frac{e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}\right) dt }[/math],

[math]\displaystyle{ \Omega=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi\log\left(1+\frac{\sin t}{t}e^{t\cot t}\right)dt }[/math].

Трансцендентность

Константа [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] трансцендентна. Это можно рассматривать как прямое следствие теоремы Линдемана — Вейерштрасса. Предположим, что [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] алгебраическое. По теореме [math]\displaystyle{ e^{-\Omega} }[/math] трансцендентно, но [math]\displaystyle{ \Omega=e^{-\Omega} }[/math]; противоречие. Следовательно, [math]\displaystyle{ \Omega }[/math] должно быть трансцендентным числом.

См. также

• W-функция Ламберта

Источники

• Weisstein, Eric W. Omega Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Omega constant (1,000,000 digits), <http://ankokudan.org/d/d.htm?mathlistindex-e.html>. Проверено 25 декабря 2017.