Полигамма-функция

Дигамма-функция [math]\displaystyle{ \psi(x) }[/math]

Тригамма-функция [math]\displaystyle{ \psi'(x) }[/math]

Тетрагамма-функция [math]\displaystyle{ \psi''(x) }[/math]

Пентагамма-функция [math]\displaystyle{ \psi'''(x) }[/math]

Полига́мма-фу́нкция порядка m в математике определяется как (m+1)-я производная натурального логарифма гамма-функции,

[math]\displaystyle{ \psi^{(m)}(z) = \frac{{\rm d}^m}{{\rm d}z^m} \psi(z) = \frac{{\rm d}^{m+1}}{{\rm d}z^{m+1}} \ln\Gamma(z) \; , }[/math]

где [math]\displaystyle{ \Gamma(z) }[/math] — гамма-функция, а

[math]\displaystyle{ \psi(z) = \psi^{(0)}(z) = \frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)} }[/math]

— дигамма-функция, которую также можно определить через сумму следующего ряда:

[math]\displaystyle{ \psi(z) = \psi^{(0)}(z) = -\gamma + \sum\limits_{k=0}^{\infty} \left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+z}\right)\;, }[/math]

где [math]\displaystyle{ {\textstyle{\gamma}} }[/math] — постоянная Эйлера—Маскерони. Это представление справедливо для любого комплексного [math]\displaystyle{ z\neq 0, \; -1, \; -2, \; -3, \ldots }[/math] (в указанных точках функция [math]\displaystyle{ {\textstyle{\psi(z)}} }[/math] имеет сингулярности первого порядка).

Полигамма-функцию также можно определить через сумму ряда

[math]\displaystyle{ \psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \sum\limits_{k=0}^\infty \displaystyle{\frac{1}{(z+k)^{m+1}}}\;, \qquad m\gt 0 \;, }[/math]

который получается из представления для дигамма-функции дифференцированием по z. Это представление также справедливо для любого комплексного [math]\displaystyle{ z\neq 0, \; -1, \; -2, \; -3, \ldots }[/math] (в указанных точках функция [math]\displaystyle{ {\textstyle{\psi^{(m)}(z)}} }[/math] имеет сингулярности порядка (m+1)). Оно может быть записано через дзета-функцию Гурвица,

[math]\displaystyle{ \psi^{(m)}(z) = (-1)^{m+1}\; m!\; \zeta (m+1,z) \; . }[/math]

В этом смысле дзета-функция Гурвица может быть использована для обобщения полигамма-функции на случай произвольного (нецелого) порядка m.

Отметим, что в литературе [math]\displaystyle{ {\textstyle{\psi^{(m)}(z)}} }[/math] иногда обозначается как [math]\displaystyle{ {\textstyle{\psi_{m}(z)}} }[/math] или явным образом указываются штрихи для производных по z. Функция [math]\displaystyle{ {\textstyle{\psi'(z)=\psi^{(1)}(z)}} }[/math] называется тригамма-функцией, [math]\displaystyle{ {\textstyle{\psi''(z)=\psi^{(2)}(z)}} }[/math] — тетрагамма-функцией, [math]\displaystyle{ {\textstyle{\psi'''(z)=\psi^{(3)}(z)}} }[/math] — пентагамма-функцией, [math]\displaystyle{ {\textstyle{\psi''''(z)=\psi^{(4)}(z)}} }[/math] — гексагамма-функцией, и т. д.

Интегральное представление

Полигамма-функция может быть представлена как

[math]\displaystyle{ \psi^{(m)}(z)= (-1)^{m+1}\int_0^\infty \frac{t^m e^{-zt}} {1-e^{-t}} {\rm d}t }[/math]

Это представление справедливо для Re z >0 и m > 0. При m=0 (для дигамма-функции) интегральное представление может быть записано в виде

[math]\displaystyle{ \psi(z) = \psi^{(0)}(z)= -\gamma + \int_0^\infty \frac{e^{-t} - e^{-zt}} {1-e^{-t}} {\rm d}t = -\gamma + \int_0^1 \frac{1-t^{z-1}}{1-t} {\rm d}t\; , }[/math]

где [math]\displaystyle{ {\textstyle{\gamma}} }[/math] — постоянная Эйлера—Маскерони.

Асимптотические разложения

При [math]\displaystyle{ z\to\infty\; }[/math] ([math]\displaystyle{ \;|\operatorname{arg}\;{z}|\lt \pi }[/math]) справедливо следующее разложение с использованием чисел Бернулли:

[math]\displaystyle{ \psi^{(m)}(z) = (-1)^{m-1} \left[ \frac{(m-1)!}{z^m} + \frac{m!}{2z^{m+1}} + \sum_{k=1}^\infty \frac{(2k+m-1)!\; B_{2k}}{(2k)!\; z^{2k+m}} \right] }[/math]

Разложение в ряд Тейлора вблизи аргумента, равного единице, имеет вид

[math]\displaystyle{ \psi^{(m)}(z+1)= \sum_{k=0}^\infty (-1)^{m+k+1} (m+k)!\; \zeta (m+k+1)\; \frac {z^k}{k!} \; , }[/math]

где ζ обозначает дзета-функцию Римана. Этот ряд сходится при |z| < 1, и он может быть получен из соответствующего ряда для дзета-функции Гурвица.

Частные значения

Значения полигамма-функции при целых и полуцелых значениях аргумента выражаются через дзета-функцию Римана,

[math]\displaystyle{ \psi^{(m)}(1) = (-1)^{m+1} m!\; \zeta(m+1)\; , \qquad m\gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi^{(m)}(\tfrac12) = (-1)^{m+1} m!\; (2^{m+1}-1)\;\zeta(m+1)\; , \qquad m\gt 0 \;, }[/math]

а для дигамма-функции (при m=0) —

[math]\displaystyle{ \psi(1)=\psi^{(0)}(1)=-\gamma \; , }[/math]

[math]\displaystyle{ \psi(\tfrac12)=\psi^{(0)}(\tfrac12)=-\gamma-2\ln{2}\; , }[/math]

где [math]\displaystyle{ {\textstyle{\gamma}} }[/math] — постоянная Эйлера—Маскерони.

Чтобы получить значения полигамма-функции при других целых (положительных) и полуцелых значениях аргумента, можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое ниже.

Другие формулы

Полигамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению

[math]\displaystyle{ \psi^{(m)}(z+1)= \psi^{(m)}(z) + \frac{(-1)^m\; m!}{z^{m+1}} \;, }[/math]

а также формуле дополнения

[math]\displaystyle{ \psi^{(m)}(1-z)+(-1)^{m+1}\;\psi^{(m)}(z) = (-1)^m \pi \frac{{\rm d}^m}{{\rm d}z^m}\cot(\pi z)\; . }[/math]

Для полигамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:

[math]\displaystyle{ \psi^{(m)}(kz) = \frac{1}{k^{m+1}} \sum_{n=0}^{k-1} \psi^{(m)}\left(z+\frac{n}{k}\right), \qquad m\gt 0 }[/math]

а для дигамма-функции ([math]\displaystyle{ m = 0 }[/math]) к правой части надо добавить lnk,

[math]\displaystyle{ \psi(kz) = \ln{k} + \frac{1}{k}\sum_{n=0}^{k-1} \psi\left(z+\frac{n}{k}\right). }[/math]

См. также

• Дигамма-функция
• Тригамма-функция

Ссылки

• Milton Abramowitz, Irene A. Stegun. §6.4 Polygamma Functions // Handbook of Mathematical Functions (англ.). — New York: Dover Publications, 1964. — ISBN 0-486-61272-4.
• Weisstein, Eric W. Polygamma Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.