Сриниваса Рамануджан
Сриниваса Рамануджан | |
---|---|
![]() | |
Дата рождения | 22 декабря 1887 |
Дата смерти | 26 апреля 1920 (32 года) |
Страна |
|
Научная сфера | математик |
Альма-матер | Кумбаконамский колледж Мадрасского университета , Кембриджский университет |
Научный руководитель |
Годфри Харди Джон Литлвуд |
Известен как |
Суммы Рамануджана Гипотеза Рамануджана Константа Ландау—Рамануджана Фальшивые тета-функции Простые числа Рамануджана Константа Рамануджана-Зольднера* Тета-функции Рамануджана |
Автограф |
|
Сринива́са Рамануджан Айенго́р (произношение ; там. ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார்; англ. Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar; 22 декабря 1887 — 26 апреля 1920) — индийский математик.
Не имея специального математического образования, получил замечательные результаты в области теории чисел. Наиболее значительна его работа совместно с Годфри Харди по асимптотике числа разбиений p(n).
Биография
Рамануджан родился 22 декабря 1887 года в городе Ироду, Мадрасское президентство, на юге Индии, в тамильской семье. Отец работал бухгалтером в небольшой текстильной лавке в городе Кумбаконаме Танджорского района Мадрасского президентства. Мать была глубоко религиозна. Рамануджан воспитывался в строгих традициях замкнутой касты брахманов. В 1889 году он перенёс оспу, но сумел выжить и выздороветь.
В школе проявились его незаурядные способности к математике, и знакомый студент из города Мадраса дал ему книги по тригонометрии. В 14 лет Рамануджан открыл формулу Эйлера о синусе и косинусе и был очень расстроен, узнав, что она уже опубликована. В 16 лет в его руки попало двухтомное сочинение математика Джорджа Шубриджа Карра «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики», написанное почти за четверть века до этого (впоследствии, благодаря связи с именем Рамануджана, эта книга была подвергнута тщательному анализу). В нём было помещено 6165 теорем и формул, практически без доказательств и пояснений. Юноша, не имевший ни доступа в ВУЗ, ни общения с математиками, погрузился в общение с этим сводом формул. Таким образом, у него сложился определённый способ мышления, своеобразный стиль доказательств. В этот период и определилась математическая судьба Рамануджана. Среди покровителей Рамануджана на этом поприще были его начальник сэр Фрэнсис Спринг, его коллега С. Нараяна Ийер и будущий секретарь Индийского математического общества Р. Рамачандра Рао.
В январе 1913 года Рамануджан написал письмо известному профессору Кембриджского университета Годфри Харди. В письме Рамануджан сообщал, что он не заканчивал университета, а после средней школы занимается математикой самостоятельно. К письму были приложены формулы, автор просил их опубликовать, если они интересны, поскольку сам он беден и не имеет для публикации достаточных средств. Между кембриджским профессором и индийским клерком завязалась оживлённая переписка, в результате которой у Харди накопилось около 120 формул, неизвестных науке того времени. По настоянию Харди Рамануджан приехал в Кембридж. Там он был избран в члены Английского Королевского общества (Английская академия наук) и одновременно профессором Кембриджского университета. Он был первым индийцем, удостоенным таких почестей. Печатные труды с его формулами выходили один за другим, вызывая удивление, а подчас и недоумение коллег.
В формировании математического мира Рамануджана начальный запас математических фактов объединился с огромным запасом наблюдений над конкретными числами. Он коллекционировал такие факты с детства. Он обладал поразительной способностью подмечать огромный числовой материал. По словам Харди, «каждое натуральное число было личным другом Рамануджана»[источник не указан 1236 дней]. Многие математики его времени считали Рамануджана просто экзотическим явлением, опередившим развитие науки, как минимум, на 100 лет. А современные математики не перестают удивляться проницательности индийского гения, перепрыгнувшего в математику нашего времени[источник не указан 1236 дней].
По семейным обстоятельствам Рамануджан вернулся в Индию, где и умер 26 апреля 1920 года. Причиной ранней (в возрасте 32 лет) смерти мог быть туберкулёз, усугублённый последствиями недоедания, истощения и стресса. В 1994 году предположили, что у Рамануджана мог быть амёбиаз.
Научные интересы и результаты
Сфера его математических интересов была очень широка. Это магические квадраты, квадратура круга, бесконечные ряды, гладкие числа, разбиения чисел, гипергеометрические функции, специальные суммы и функции, ныне носящие его имя, определённые интегралы, эллиптические и модулярные функции.
Он нашёл несколько частных решений уравнения Эйлера (см. задача о четырёх кубах), сформулировал около 120 теорем (в основном в виде исключительно сложных тождеств). Современными математиками Рамануджан считается крупнейшим знатоком цепных дробей в мире. Одним из самых замечательных результатов Рамануджана в этой области является формула, в соответствии с которой сумма простого числового ряда с цепной дробью в точности равна выражению, в котором присутствует произведение [math]\displaystyle{ e }[/math] на [math]\displaystyle{ \pi }[/math]:
- [math]\displaystyle{ 1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \ldots + \frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{2}{1+\displaystyle\frac{3}{1+\displaystyle\frac{4}{1+\displaystyle\frac{5}{1+\ldots}}}}}} = \sqrt{\frac{e\cdot\pi}{2}}. }[/math]
Математикам хорошо известна формула вычисления числа [math]\displaystyle{ \pi }[/math], полученная Рамануджаном в 1910 году путём разложения арктангенса в ряд Тейлора:
- [math]\displaystyle{ \pi = \frac{9801}{2\sqrt{2} \sum\limits^\infty_{k=0} \displaystyle\frac{(4k)!}{(k!)^4} \times \displaystyle\frac{[1103 + 26390k]}{(4 \times 99)^{4k}}}. }[/math]
Уже при суммировании первых 100 элементов ([math]\displaystyle{ k=100 }[/math]) этого ряда достигается точность в шестьсот верных значащих цифр.
Примеры бесконечных сумм, найденных Рамануджаном:
- [math]\displaystyle{ 1 - 5\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{1\times3}{2\times4}\right)^3 - 13\left(\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^3 + \ldots = \frac{2}{\pi} }[/math].
- [math]\displaystyle{ 1 + 9\left(\frac{1}{4}\right)^4 + 17\left(\frac{1\times5}{4\times8}\right)^4 + 25\left(\frac{1\times5\times9}{4\times8\times12}\right)^4 + \ldots = \frac{2^\frac{3}{2}}{\pi^\frac{1}{2}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)}. }[/math]
Эти удивительные формулы — одни из предложенных им в первом письме к Харди. Доказательства этих равенств нетривиальны.
Другие формулы Рамануджана не менее изящны:
- [math]\displaystyle{ \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + \ldots}}}} = 3. }[/math]
- [math]\displaystyle{ n^2 = 1 + n^2 - 1 }[/math]
- [math]\displaystyle{ n^2 = 1 + (n - 1)(n + 1) }[/math]
- [math]\displaystyle{ n = \sqrt{1 + (n - 1)(n + 1)} }[/math]
Примеры:
- [math]\displaystyle{ 3 = \sqrt{1 + 2*4} }[/math]
- [math]\displaystyle{ 4 = \sqrt{1 + 3*5} }[/math]
- [math]\displaystyle{ 5 = \sqrt{1 + 4*6} }[/math]
... Откуда:
- [math]\displaystyle{ 3 = \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4*6}}} }[/math]
Легко видеть, что формула Рамануджана получается путем бесконечной подстановки выражения [math]\displaystyle{ \sqrt{1 + (n - 1)(n + 1)} }[/math] для следующего числа [math]\displaystyle{ n+1 }[/math].
- [math]\displaystyle{ x^3 + y^3 + z^3 = w^3 }[/math], где
- [math]\displaystyle{ \begin{align} x &= 3a^2 + 5ab - 5b^2, \\ y &= 5a^2 - 5ab - 3b^2, \\ z &= 4a^2 - 4ab + 6b^2, \\ w &= 6a^2 - 4ab + 4b^2. \end{align} }[/math]
- [math]\displaystyle{ e^{\pi\sqrt{58}} = 396^4 - 104{,}000000177... }[/math]
Следующая формула действительна для 0 < a < b + 12:
- [math]\displaystyle{ \int\limits_0^\infty \frac{1+\dfrac{x^2}{(b+1)^2}}{1+\dfrac{x^2}{a^2}} \times\frac{1+\dfrac{x^2}{(b+2)^2}}{1+\dfrac{x^2}{(a+1)^2}}\times\dots\,dx = \frac{\sqrt \pi}{2} \times\frac{\Gamma\left(a+\frac12\right) \Gamma(b+1) \Gamma(b-a+1)}{\Gamma(a)\Gamma\left(b+\frac12\right)\Gamma\left(b-a + \frac12 \right)}. }[/math]
Признание и оценки
Харди остроумно прокомментировал результаты, сообщённые ему Рамануджаном: «Они должны быть истинными, поскольку если бы они не были истинными, то ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их»[источник не указан 945 дней]. Его формулы иногда всплывают в современнейших разделах науки, о которых в его время никто даже не догадывался.
Сам Рамануджан говорил, что формулы являлись ему во сне и внушались в молитве (в индуизме: в мантра-йоге, медитации)[1] богиней Намагири Тхайяр (Махалакшми) (хинди नामगिरी), почитаемой в Намаккале (там. நாமக்கல்)[2][3].
Чтобы сохранить наследие этого удивительного, ни на кого не похожего математика, в 1957 году Институт фундаментальных исследований Тата издал двухтомник с фотокопиями его черновиков.
Наука ничего не выиграла от того, что Кумбаконамский колледж отверг единственного большого учёного, которого он имел, и потеря была неизмеримой. Судьба Рамануджана — худший известный мне пример вреда, который может быть причинён малоэффективной и негибкой системой образования. Требовалось так мало, всего 60 фунтов стерлингов в год на протяжении 5 лет и эпизодического общения с людьми, имеющими настоящие знания и немного воображения, и мир получил бы ещё одного из величайших своих математиков…
— Г. Х. Харди[источник не указан 945 дней]
Понятия, связанные с именем Рамануджана
![](https://cdn.xn--h1ajim.xn--p1ai/thumb.php?f=Srinivasa_Ramanujan_2011_stamp_of_India.jpg&width=300)
Именем Рамануджана названы математические объекты и утверждения, учебные учреждения, журналы и премии. В частности:
- Гипотеза Рамануджана
- Суммы Рамануджана
- Функция Рамануджана
- Константа Ландау — Рамануджана
- Число Рамануджана — Харди
- Тождество Роджерса — Рамануджана
- Теорема Харди — Рамануджана
- Тождество Доугалла — Рамануджана
- Граф Рамануджана
- Премия SASTRA Ramanujan
В кинематографе
Математик-самоучка Рамануджан — главный герой следующих художественных фильмов:
- «Рамануджан » (2014) производства Индии;
- «Человек, который познал бесконечность» (2015) производства Великобритании, по одноимённой биографии Роберта Канигела.
- Амита Рамануджан, героиня сериала «4исла», названная в честь математика.
- «Умница Уилл Хантинг» (1997) производства США. Упоминается в диалоге профессора математики Джеральда Лембо и психолога Шона.
Примечания
- ↑ Цитата из фильма «Человек, который познал бесконечность» (англ. The Man Who Knew Infinity) на временной шкале фильма: 1 час 25 минут.
- ↑ Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 336 с.
- ↑ Гиндикин С. Г. Загадка Рамануджана // Квант. — 1987. — № 10. — С. 20. Архивировано 6 января 2005 года.
Литература
- The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan, 1991, Robert Kanigel
- Гиндикин С. Г. Рассказы о физиках и математиках. — Издание третье, расширенное. — М.: МЦНМО, 2001. — ISBN 5-900916-83-9.
- Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 336 с.
- Гиндикин С. Г. Загадка Рамануджана // Квант. — 1987. — № 10. — С. 14.
- Аски Р. С. Рамануджан. Гипергеометрические и базисные гипергеометрические ряды // УМН. — 1990. — Т. 45, № 1(271). — С. 33—76.
- Борвейн Дж., Борвейн П. Рамануджан и число π // В мире науки. — 1988. — № 4.
- Левин В. И. Рамануджан — математический гений Индии. — М.: Знание, 1968. (альтернативная ссылка)
- Левин В. И. Жизнь и творчество индийского математика С. Рамануджана // Историко-математические исследования. — М.: Физматгиз, 1960. — Т. XIII.
- Литлвуд Дж. И. Рецензия на собрание сочинений Рамануджана // Математическая смесь. — М.: Наука, 1990. — ISBN 5-02-014332-4.
- Список литературы о Рамануджане в рунете
- George E. Andrews, Bruce C. Berndt Ramanujan’s Lost Notebook: Part I, II, III, IV ISBN 0-387-25529-X, 2008, ISBN 978-0-387-77765-8, 2012, ISBN 978-1-4614-3809-0, 2013, ISBN 978-1-4614-4080-2)
В статье не хватает ссылок на источники (см. также рекомендации по поиску). |