Постоянная Голомба — Дикмана

Постоянная Голомба — Дикмана — математическая константа, возникающая в случайных перестановках и в теории чисел, равная:

[math]\displaystyle{ \lambda = 0{,}62432 99885 43550 87099 29363 83100 83724\dots }[/math].

Названа по именам Соломона Голомба и Карла Дикмана. Вычисляется из всех перестановок множества из [math]\displaystyle{ n }[/math] элементов с использованием средней длины наиболее длинного цикла перестановки [math]\displaystyle{ a_n }[/math]:

[math]\displaystyle{ \lambda = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n} }[/math].

С точки зрения теории вероятностей [math]\displaystyle{ \lambda n }[/math] является асимптотой ожидания длины наиболее длинного цикла равномерно распределённых случайных перестановок множества из [math]\displaystyle{ n }[/math] элементов.

В теории чисел постоянная возникает в связи со средним значением наибольшего простого делителя целого числа:

[math]\displaystyle{ \lambda = \lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{k=2}^n \frac{\log(P_1(k))}{\log(k)} }[/math]

где [math]\displaystyle{ P_1(k) }[/math] — наибольший простой делитель числа [math]\displaystyle{ k }[/math]. Таким образом, если [math]\displaystyle{ k }[/math] — [math]\displaystyle{ d }[/math]-значное десятичное целое, то [math]\displaystyle{ \lambda d }[/math] является асимптотой среднего числа знаков в наибольшем простом делителе [math]\displaystyle{ k }[/math].

Другой источник из теории чисел — вероятность того, что второй по величине простой делитель числа [math]\displaystyle{ n }[/math] меньше квадратного корня из наибольшего простого делителя [math]\displaystyle{ n }[/math], асимптотически равная [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]:

[math]\displaystyle{ \lambda = \lim_{n\to\infty} \operatorname {prob} \left\{P_2(n) \leqslant \sqrt{P_1(n)}\right\} }[/math]

где [math]\displaystyle{ P_2(n) }[/math] — второй по величине простой делитель [math]\displaystyle{ n }[/math].

Существует несколько интегральных представлений для [math]\displaystyle{ \lambda }[/math]:

[math]\displaystyle{ \lambda = \int_0^\infty e^{-t - \operatorname{Ei}_1(t)} dt }[/math], где [math]\displaystyle{ \operatorname{Ei}_1(t) }[/math] — модифицированная интегральная показательная функция,

[math]\displaystyle{ \lambda = \int_0^\infty \frac{\rho(t)}{t+2} dt }[/math]

[math]\displaystyle{ \lambda = \int_0^\infty \frac{\rho(t)}{(t+1)^2} dt }[/math], где [math]\displaystyle{ \rho(t) }[/math] — это функция Дикмана.

Вопрос о рациональности или иррациональности постоянной открыт.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Golomb-Dickman Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Finch, Steven R. Mathematical Constants (неопр.). — Cambridge University Press, 2003. — С. 284—286. — ISBN 0-521-81805-2.