Постоянная Гаусса (математика)

Эта статья — о математической константе. Об астрономической константе см. Постоянная Гаусса (астрономия).

Постоянная Гаусса(обозначение — G) — математическая константа определяется как величина, обратная среднему арифметико-геометрическому от пары чисел, а именно, от единицы и квадратного корня из 2:

[math]\displaystyle{ G = \frac{1}{\operatorname{agm}\left(1, \sqrt{2}\right)} = 0.8346268\dots }[/math](последовательность A014549 в OEIS)

Константа названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который в 1799 году обнаружил, что

[math]\displaystyle{ G = \frac{2}{\pi}\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{1 - x^4}} }[/math]

чтобы

[math]\displaystyle{ G = \frac{1}{2\pi}\Beta\left( \tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}\right) }[/math]

где Β обозначает бета-функцию.

Связь с другими константами

Постоянная Гаусса может использоваться для выражения гамма-функции при аргументе [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \Gamma\left( \tfrac{1}{4}\right) = \sqrt{ 2G \sqrt{ 2\pi^3 } } }[/math]

В качестве альтернативы,

[math]\displaystyle{ G = \frac{\left[\Gamma\left( \tfrac{1}{4}\right)\right]^2}{2\sqrt{ 2\pi^3}} }[/math]

а поскольку [math]\displaystyle{ \pi }[/math] и [math]\displaystyle{ \Gamma\left( \tfrac{1}{4}\right) }[/math] алгебраически независимы, постоянная Гаусса трансцендентна.

Константы лемнискаты

Константу Гаусса можно использовать при определении констант лемнискаты.

Гаусс и другие используют эквивалент

[math]\displaystyle{ \varpi = \pi G }[/math]

которая является константой лемнискаты, известной в теории лемнискатических функций.

Однако Джон Тодд использует другую терминологию — в своей статье числа [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] называются константами лемнискаты, первая из которых

[math]\displaystyle{ A = \frac{\pi G}{2} = \frac{\varpi}{2} = \frac{1}{4} \Beta \left(\frac{1}{4},\frac{1}{2}\right) }[/math]

и вторая константа:

[math]\displaystyle{ B = \frac{1}{2G} =\frac{1}{4}\Beta \left(\frac{1}{2},\frac{3}{4}\right). }[/math]

Они возникают при нахождении длины дуги лемнискаты. [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] Теодор Шнайдер доказал их трансцендентность в 1937 и 1941 годах соответственно.

Другие формулы

Формула, выражающая G через тета-функции Якоби, выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ G = \vartheta_{01}^2\left(e^{-\pi}\right) }[/math]

Также существуют представление в виде ряда с быстрой сходимостью, например следующий:

[math]\displaystyle{ G = \sqrt[4]{32}e^{-\frac{\pi}{3}}\left (\sum_{n = -\infty}^\infty (-1)^n e^{-2n\pi(3n+1)} \right )^2. }[/math]

Константу также можно выразить бесконечным произведением

[math]\displaystyle{ G = \prod_{m = 1}^\infty \tanh^2 \left( \frac{\pi m}{2}\right). }[/math]

Эта константа появляется при оценке интегралов

[math]\displaystyle{ {\frac{1}{G}} = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\sin(x)}\,dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{\cos(x)}\,dx }[/math]

[math]\displaystyle{ G = \int_0^{\infty}{\frac{dx}{\sqrt{\cosh(\pi x)}}} }[/math]

Представление константы в виде непрерывной дроби:

[math]\displaystyle{ G = [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 15, 1, 3, 8, 36, 1, 2, 5, 2, 1, 1, 2, 2, 6, 9, 1, 1, 1, 3, 1, \dots]. }[/math](последовательность A053002 в OEIS)

Источники

• Weisstein, Eric W. Gauss's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.