Натуральный логарифм 2
Натуральный логарифм 2 в десятичной системе счисления (последовательность A002162 в OEIS) равен приблизительно
- [math]\displaystyle{ \ln 2 \approx 0{,}693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458\,176\,568\,075\,500\,134\,360\,255\,254\,120\,680\,009\,493\,393\,621\,969\,694\,715\,605\,863\,326\,996\,418\,687 }[/math]
как показывает первая строка в таблице ниже. Логарифм числа 2 с другим основанием (b) можно вычислить из соотношения
- [math]\displaystyle{ \log_b 2 = \frac{\ln 2 }{\ln b }. }[/math]
Десятичный логарифм числа 2 (A007524) приблизительно равен
- [math]\displaystyle{ \log_{10} 2 \approx 0{,}301\,029\,995\,663\,981\,195\,213\,738\,894\,724\,493\,026\,768\,189\,881\,462\,108\,541\,310\,427\,461\,127\,108\,189\,274\,424\,509\,486\,927\,252\,118\,186\,172\,040\,684 }[/math]
Обратное число к данному представляет собой двоичный логарифм 10:
- [math]\displaystyle{ \log_2 10 =\frac{1}{\log_{10} 2 } \approx 3{,}32\,192\,809\,488\,736\,234\,787\,031\,942\,948\,939\,017\,586\,483\,139\,302\,458\,061\,205\,475\,639\,581\,593\,477\,660\,862\,521\,585\,013\,974\,335\,937\,015 }[/math] (A020862).
| Число | Приближённое значение натурального логарифма | OEIS |
|---|---|---|
| 2 | 0,693147180559945309417232121458 | последовательность A002162 в OEIS |
| 3 | 1,09861228866810969139524523692 | последовательность A002391 в OEIS |
| 4 | 1,38629436111989061883446424292 | последовательность A016627 в OEIS |
| 5 | 1,60943791243410037460075933323 | последовательность A016628 в OEIS |
| 6 | 1,79175946922805500081247735838 | последовательность A016629 в OEIS |
| 7 | 1,94591014905531330510535274344 | последовательность A016630 в OEIS |
| 8 | 2,07944154167983592825169636437 | последовательность A016631 в OEIS |
| 9 | 2,19722457733621938279049047384 | последовательность A016632 в OEIS |
| 10 | 2,30258509299404568401799145468 | последовательность A002392 в OEIS |
По теореме Линдемана — Вейерштрасса натуральный логарифм любого натурального числа, отличного от 0 и 1 (в общем случае, для любого положительного алгебраического числа, кроме 1), является трансцендентным числом.
Неизвестно, является ли ln 2 нормальным числом.
Представление в виде рядов
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} =\ln 2. }[/math] (Ряд Меркатора)
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} = \ln 2. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(n+1)(n+2)} = 2\ln 2 -1. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(4n^2-1)} = 2\ln 2 -1. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(4n^2-1)} = \ln 2 -1. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n(9n^2-1)} = 2\ln 2 -\tfrac{3}{2}. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{2^n}[\zeta(n)-1] = \ln 2 -\tfrac{1}{2}. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2n+1}[\zeta(n)-1] = 1-\gamma-\frac{\ln 2 }{2}. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{2n}(2n+1)}\zeta(2n) = \frac{1-\ln 2 }{2}. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^{n}n} = \operatorname{Li}_1\left ( \frac{1}{2} \right ). }[/math] (Полилогарифм)
- [math]\displaystyle{ \ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{3^n}+\frac{1}{4^n}\right)\frac{1}{n}. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ln 2 = \frac{2}{3} + \frac12 \sum_{k\ge 1}\left(\frac{1}{2k}+\frac{1}{4k+1}+\frac{1}{8k+4}+\frac{1}{16k+12}\right)\frac{1}{16^k}. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ln 2 = \frac{2}{3} \sum_{k\ge 0} \frac{1}{9^{k}(2k+1)}. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ln 2 = \sum_{k\ge 0} \left( \frac{14}{31^{2k+1}(2k+1) } + \frac{6}{161^{2k+1}(2k+1) } + \frac{10}{49^{2k+1}(2k+1) } \right) . }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{4n^2-2n} . }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ln 2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^2-4n} . }[/math]
(здесь через γ обозначена постоянная Эйлера — Маскерони, ζ — дзета-функция Римана).
Иногда к данной категории формул относят формулу Бэйли — Боруэйна — Плаффа:
- [math]\displaystyle{ \begin{align} \ln 2 &= \frac{1}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2^2} + \frac{1}{3 \cdot 2^3} + \frac{1}{4 \cdot 2^4} + \frac{1}{5 \cdot 2^5} + \cdots \\ &= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2^k \cdot k} = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{1}{2^k} \left( \frac{1}{k + 1} \right) \right] \\ &= \frac{1}{2} P\big( 1, 2, 1, (1) \big). \end{align} }[/math]
Представление в виде интегралов
- [math]\displaystyle{ \int_0^1 \frac{dx}{1+x} = \ln 2,\text{ или, равносильно, }\int_1^2 \frac{dx}{x} = \ln 2 . }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_1^\infty \frac{dx}{(1+x^2)(1+x)^2} = \frac{1-\ln 2 }{4}. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{dx}{1+e^{nx}} = \frac{\ln 2 }{n}; \int_0^\infty \frac{dx}{3+e^{nx}} = \frac{2\ln 2 }{3n}. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_0^\infty \frac{1}{e^x-1}-\frac{2}{e^{2x}-1}\,dx=\ln 2 . }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_0^\infty e^{-x}\frac{1-e^{-x}}{x} \, dx= \ln 2 . }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_0^1 \ln\left(\frac{x^2-1}{x\ln x }\right)dx=-1+\ln 2 +\gamma. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_0^\frac{\pi}{3} \operatorname{tg} x \, dx=2\int_0^\frac{\pi}{4} \operatorname{tg} x \, dx=\ln 2 . }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_{-\frac{\pi}{4}}^\frac{\pi}{4} \ln\left(\sin x +\cos x \right)\,dx=-\frac{\pi \ln 2 }{4}. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_0^1 x^2\ln(1+x)\,dx=\frac{2\ln 2 }{3}-\frac{5}{18}. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_0^1 x\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx=\tfrac{1}{4}-\ln 2 . }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_0^1 x^3\ln(1+x)\ln(1-x)\,dx=\tfrac{13}{96}-\frac{2\ln 2 }{3}. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_0^1 \frac{\ln x}{(1+x)^2}\,dx = -\ln 2 . }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_0^1 \frac{\ln(1+x)-x}{x^2}\,dx=1-2\ln 2 . }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_0^1 \frac{dx}{x(1-\ln x )(1-2\ln x )} = \ln 2 . }[/math]
- [math]\displaystyle{ \int_1^\infty \frac{\ln\left(\ln x \right)}{x^3}\,dx = -\frac{\gamma+\ln 2 }{2}. }[/math]
Другие формы представления числа
Разложение Пирса имеет вид (A091846)
- [math]\displaystyle{ \ln 2 = 1 -\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{1\cdot 3\cdot 12} -\cdots. }[/math]
- [math]\displaystyle{ \ln 2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2\cdot 3} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7} + \frac{1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}+\cdots. }[/math]
Разложение в виде котангенсов имеет вид A081785
- [math]\displaystyle{ \ln 2 = \operatorname{ctg}({\operatorname{arcctg}0 -\operatorname{arcctg}1 + \operatorname{arcctg}5 - \operatorname{arcctg}55 + \operatorname{arcctg}14187 -\cdots}). }[/math]
Представление в виде бесконечной суммы дробей[1] (знакопеременный гармонический ряд):
- [math]\displaystyle{ \ln 2 = 1 -\tfrac{1}{2} +\tfrac{1}{3} -\tfrac{1}{4} +\tfrac{1}{5} -\cdots. }[/math]
Также можно представить натуральный логарифм 2 в виде разложения в ряд Тейлора:
[math]\displaystyle{ \quad\ln 2 = \tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{12}+\tfrac{1}{30}+\tfrac{1}{56}+\tfrac{1}{90}+\cdots }[/math]
Представление в виде обобщённой непрерывной дроби:[2]
- [math]\displaystyle{ \ln 2 = \cfrac{1} {1+\cfrac{1} {2+\cfrac{1} {3+\cfrac{2} {2+\cfrac{2} {5+\cfrac{3} {2+\cfrac{3} {7+\cfrac{4} {2+\ddots}}}}}}}} = \cfrac{2} {3-\cfrac{1^2} {9-\cfrac{2^2} {15-\cfrac{3^2} {21-\ddots}}}} }[/math]
Вычисление других логарифмов
Если известно значение ln 2, то для вычисления логарифмов других натуральных чисел можно табулировать логарифмы простых чисел, а логарифмы смешанных чисел c затем определять исходя из разложения на простые множители:
- [math]\displaystyle{ c=2^i3^j5^k7^l\cdots\rightarrow \ln c = i\ln 2 +j\ln 3 +k\ln 5 +l\ln 7 +\cdots }[/math]
В таблице представлены логарифмы некоторых простых чисел.
| Простое число | Приблизительное значение натурального логарифма | OEIS |
|---|---|---|
| 11 | 2,39789527279837054406194357797 | последовательность A016634 в OEIS |
| 13 | 2,56494935746153673605348744157 | последовательность A016636 в OEIS |
| 17 | 2,83321334405621608024953461787 | последовательность A016640 в OEIS |
| 19 | 2,94443897916644046000902743189 | последовательность A016642 в OEIS |
| 23 | 3,13549421592914969080675283181 | последовательность A016646 в OEIS |
| 29 | 3,36729582998647402718327203236 | последовательность A016652 в OEIS |
| 31 | 3,43398720448514624592916432454 | последовательность A016654 в OEIS |
| 37 | 3,61091791264422444436809567103 | последовательность A016660 в OEIS |
| 41 | 3,71357206670430780386676337304 | последовательность A016664 в OEIS |
| 43 | 3,76120011569356242347284251335 | последовательность A016666 в OEIS |
| 47 | 3,85014760171005858682095066977 | последовательность A016670 в OEIS |
| 53 | 3,97029191355212183414446913903 | последовательность A016676 в OEIS |
| 59 | 4,07753744390571945061605037372 | последовательность A016682 в OEIS |
| 61 | 4,11087386417331124875138910343 | последовательность A016684 в OEIS |
| 67 | 4,20469261939096605967007199636 | последовательность A016690 в OEIS |
| 71 | 4,26267987704131542132945453251 | последовательность A016694 в OEIS |
| 73 | 4,29045944114839112909210885744 | последовательность A016696 в OEIS |
| 79 | 4,36944785246702149417294554148 | последовательность A016702 в OEIS |
| 83 | 4,41884060779659792347547222329 | последовательность A016706 в OEIS |
| 89 | 4,48863636973213983831781554067 | последовательность A016712 в OEIS |
| 97 | 4,57471097850338282211672162170 | последовательность A016720 в OEIS |
На третьем шаге логарифмы рациональных чисел r = a/b вычисляются как ln r = ln a − ln b, логарифмы корней: ln n√c = 1/n ln c.
Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени 2 распределены достаточно плотно: определение степени 2i, близкой к степени bj другого числа b сравнительно несложно.
Известные значения
Это таблица последних записей по вычислению цифр [math]\displaystyle{ \ln(2) }[/math]. По состоянию на декабрь 2018 года в ней было вычислено больше цифр, чем в любом другом натуральном логарифме[3][4] натурального числа, кроме 1.
| Дата | Количество значащих цифр | Авторы вычисления |
|---|---|---|
| 7 января 2009 г. | 15 500 000 000 | A.Yee & R.Chan |
| 4 февраля 2009 г. | 31 026 000 000 | A.Yee & R.Chan |
| 21 февраля 2011 г. | 50 000 000 050 | Alexander Yee |
| 14 мая 2011 г. | 100 000 000 000 | Shigeru Kondo |
| 28 февраля 2014 г. | 200 000 000 050 | Shigeru Kondo |
| 12 июля 2015 г. | 250 000 000 000 | Ron Watkins |
| 30 января 2016 г. | 350 000 000 000 | Ron Watkins |
| 18 апреля 2016 г. | 500 000 000 000 | Ron Watkins |
| 10 декабря 2018 г. | 600 000 000 000 | Michael Kwok |
| 26 апреля 2019 г., | 1 000 000 000 000 | Jacob Riffee |
| 19 августа 2020 г. | 1 200 000 000 100 | Seungmin Kim[5][6] |
Примечания
- ↑ Wells, David. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). — Penguin, 1997. — P. 29. — ISBN 0140261494.
- ↑ Borwein, J.; Crandall, R.; Free, G. On the Ramanujan AGM Fraction , I: The Real-Parameter Case (англ.) // Exper. Math.[англ.] : journal. — 2004. — Vol. 13. — P. 278—280. — doi:10.1080/10586458.2004.10504540.
- ↑ y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program. www.numberworld.org. Дата обращения: 19 февраля 2021. Архивировано 16 апреля 2015 года.
- ↑ Natural Log of 2. www.numberworld.org. Дата обращения: 19 февраля 2021. Архивировано 9 июля 2021 года.
- ↑ y-cruncher - A Multi-Threaded Pi Program. web.archive.org (15 сентября 2020). Дата обращения: 19 февраля 2021.
- ↑ Natural Logarithm of 2 (Log(2)) (англ.). Polymath Collector (19 августа 2020). Дата обращения: 19 февраля 2021. Архивировано 17 октября 2020 года.
Литература
- Brent, Richard P. Fast multiple-precision evaluation of elementary functions (англ.) // J. ACM : journal. — 1976. — Vol. 23, no. 2. — P. 242—251. — doi:10.1145/321941.321944.
- Uhler, Horace S. Recalculation and extension of the modulus and of the logarithms of 2, 3, 5, 7 and 17 (англ.) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. — 1940. — Vol. 26. — P. 205—212. — doi:10.1073/pnas.26.3.205.
- Sweeney, Dura W. On the computation of Euler's constant (англ.) // Mathematics of Computation[англ.] : journal. — 1963. — Vol. 17. — P. 170—178. — doi:10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X.
- Chamberland, Marc. Binary BBP-formulae for logarithms and generalized Gaussian–Mersenne primes (англ.) // Journal of Integer Sequences : journal. — 2003. — Vol. 6. — P. 03.3.7. Архивировано 6 июня 2011 года.
- Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús. Construction of binomial sums for π and polylogarithmic constants inspired by BBP formulas (англ.) // Applied Math. E-Notes : journal. — 2007. — Vol. 7. — P. 237—246.
- Wu, Qiang. On the linear independence measure of logarithms of rational numbers (англ.) // Mathematics of Computation[англ.] : journal. — 2003. — Vol. 72, no. 242. — P. 901—911. — doi:10.1090/S0025-5718-02-01442-4.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Natural logarithm of 2 (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal The logarithm constant:log 2.
|  | |
