Число Скьюза

Число Скьюза (англ. Skewes number) — наименьшее натуральное число [math]\displaystyle{ n }[/math], такое, что, начиная с него, неравенство [math]\displaystyle{ \pi(n) \lt \operatorname{Li}(n) }[/math] перестает выполняться,
где [math]\displaystyle{ \pi(n) }[/math] — функция распределения простых чисел, а [math]\displaystyle{ \operatorname{Li}(n) = \int\limits_2^n \frac{dt}{\ln(t)} }[/math] — сдвинутый интегральный логарифм.

История

В 1914 году Джон Литтлвуд дал неконструктивное доказательство того, что такое число существует.

В 1933 году Стэнли Скьюз оценил это число, исходя из гипотезы Римана, как [math]\displaystyle{ \exp^3(79) = e^{e^{e^{79}}} \approx 10^{10^{10^{34}}} }[/math] — первое число Скьюза, обозначающееся [math]\displaystyle{ \mathrm{Sk}_1 }[/math].

В 1955 году Стэнли Скьюз дал оценку числа без предположения о верности гипотезы Римана: [math]\displaystyle{ \exp^4(7{,}705) = e^{e^{e^{e^{7{,}705}}}} \approx 10^{10^{10^{963}}} }[/math] — второе число Скьюза, обозначающееся [math]\displaystyle{ \mathrm{Sk}_2 }[/math]. Это одно из самых больших чисел, когда-либо применявшихся в математических доказательствах, хотя и намного меньше, чем число Грэма.

В 1987 году Герман Риел без предположения гипотезы Римана ограничил число Скьюза величиной [math]\displaystyle{ e^{e^{27/4}} }[/math], что приблизительно равно 8,185·10³⁷⁰.

По состоянию на 2022 году известно, что число Скьюза заключено между 10¹⁹ и 1,3971672·10³¹⁶ ≈ e^{727,951336108}.