Перейти к содержанию

Число Дотти

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Число Дотти является единственной неподвижной точкой функции косинуса.

Число́ До́тти — постоянная, определяемая как вещественное решение уравнения

[math]\displaystyle{ \cos x = x, }[/math]

где аргумент [math]\displaystyle{ \cos }[/math] измеряется в радианах. В десятичном представлении число Дотти примерно равно [math]\displaystyle{ 0,739085133215... }[/math].[1]

Из теоремы о промежуточном значении следует, что указанное уравнение должно иметь хотя бы одно решение. Производная функции [math]\displaystyle{ x-\cos(x) }[/math] равна [math]\displaystyle{ \sin(x)+1 }[/math] и почти везде положительна, а значит, сама функция монотонно возрастает и не может иметь нескольких нулей. Таким образом, уравнение [math]\displaystyle{ \cos x = x }[/math] однозначно определяет рассматриваемую константу.

Значения тригонометрических функций

Пусть [math]\displaystyle{ D }[/math] — число Дотти. Тогда:

[math]\displaystyle{ \mathrm{sin}(D) \approx 0,673612029183 }[/math]
[math]\displaystyle{ \mathrm{tg}(D) \approx 0,911413312094 }[/math]

Свойства

Число Дотти является нетривиальной притягивающей неподвижной точкой функции косинуса на сколь угодно большой своей действительной (но не комплексной) окрестности. Иначе говоря, для любого действительного [math]\displaystyle{ x }[/math] число [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}(\underbrace{\cos(\cos(\dots \cos(x)\dots))}_n) }[/math] равно константе Дотти. Уравнение [math]\displaystyle{ \cos z = z }[/math] для комплексного [math]\displaystyle{ z }[/math] имеет, кроме неё, бесконечное количество решений, однако ни одно из них не является притягивающей неподвижной точкой.

Кроме того, число Дотти трансцендентно, что можно доказать при помощи теоремы Линдемана — Вейерштрасса.[2]

С использованием теоремы Лагранжа об обращении рядов было доказано, что число Дотти представимо в виде ряда [math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{2n-1}\pi^{2n-1} }[/math], где [math]\displaystyle{ a_n }[/math] для любого нечётного [math]\displaystyle{ n }[/math] является рациональным числом, определённым следующим образом:

[math]\displaystyle{ \begin{align}a_n&=\frac{1}{n!\;2^n}\lim_{t\to\frac\pi2} \frac{\partial^{n-1}}{\partial t^{n-1}}{\left(\frac{\cos t}{t-\pi/2}-1\right)^{-n}}\end{align} }[/math]

Первые несколько членов последовательности [math]\displaystyle{ (a_n) }[/math] равны [math]\displaystyle{ -\frac{1}{4},-\frac{1}{768},-\frac{1}{61440},-\frac{43}{165150720},\ldots }[/math] [3][4][5][nb 1]

Формула в Excel

Формула для числа Дотти в Excel или LibreOffice Calc: SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2;1/2;3/2)-1)^2).

Происхождение названия

Имя данной константе было дано Самюэлем Капланом в честь преподавательницы французского по имени Дотти, которая обнаружила её, нажимая раз за разом кнопку взятия косинуса на калькуляторе, и рассказала об этом своему мужу — учителю математики.[3]

Сноски

  1. Каплан не приводит явного выражения для членов ряда, однако оно мгновенно следует из теоремы Лагранжа об обращении рядов.

Примечания

  1. OEIS A003957. oeis.org. Дата обращения: 26 мая 2019.
  2. Eric W. Weisstein. Dottie Number.
  3. Перейти обратно: 3,0 3,1 Kaplan, Samuel R. The Dottie Number (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 2007. — February (vol. 80). — P. 73.
  4. OEIS A302977 Numerators of the rational factor of Kaplan's series for the Dottie number.. oeis.org. Дата обращения: 26 мая 2019.
  5. A306254 - OEIS. oeis.org. Дата обращения: 22 июля 2019.

Ссылки