Константа простых чисел

Константа простых чисел — это вещественное число [math]\displaystyle{ \rho }[/math], [math]\displaystyle{ n }[/math]-ая двоичная цифра которого равна 1, если [math]\displaystyle{ n }[/math] является простым, и 0, если n является составным или 1.

Другими словами, [math]\displaystyle{ \rho }[/math] является просто числом, двоичное разложение которого соответствует индикаторной функции множества простых чисел. То есть

[math]\displaystyle{ \rho = \sum_{p} \frac{1}{2^p} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi_{\mathbb{P}}(n)}{2^n} }[/math]

где [math]\displaystyle{ p }[/math] означает простое число, а [math]\displaystyle{ \chi_{\mathbb{P}} }[/math] является характеристической функцией простых чисел.

Начальные знаки десятичного представления числа ρ: [math]\displaystyle{ \rho = 0{,}414682509851111660248109622\ldots }[/math] (последовательность A051006 в OEIS)

Начальные знаки двоичного представления: [math]\displaystyle{ \rho = 0{,}011010100010100010100010000\ldots_2 }[/math] (последовательность A010051 в OEIS)

Иррациональность

Легко показать, что число [math]\displaystyle{ \rho }[/math] иррационально. Чтобы увидеть это, предположим, что оно рационально.

Обозначим [math]\displaystyle{ k }[/math]-й знак двоичного представления [math]\displaystyle{ \rho }[/math] через [math]\displaystyle{ r_k }[/math]. Тогда, поскольку [math]\displaystyle{ \rho }[/math] по предположению рационально, должны существовать положительные числа [math]\displaystyle{ N }[/math] и [math]\displaystyle{ k }[/math], такие, что [math]\displaystyle{ r_n=r_{n+ik} }[/math] для всех [math]\displaystyle{ n \gt N }[/math] и всех [math]\displaystyle{ i \in \mathbb{N} }[/math].

Поскольку простых чисел бесконечно много, мы можем выбрать простое [math]\displaystyle{ p \gt N }[/math]. По определению мы знаем, что [math]\displaystyle{ r_p=1 }[/math]. Как было указано выше, должно выполняться [math]\displaystyle{ r_p=r_{p+ik} }[/math] для любого [math]\displaystyle{ i \in \mathbb{N} }[/math]. Рассмотрим случай [math]\displaystyle{ i=p }[/math]. Мы имеем [math]\displaystyle{ r_{p+i \cdot k}=r_{p+p \cdot k}=r_{p(k+1)}=0 }[/math], поскольку [math]\displaystyle{ p(k+1) }[/math] составное, так как [math]\displaystyle{ k+1 \geq 2 }[/math]. Поскольку [math]\displaystyle{ r_p \neq r_{p(k+1)} }[/math], мы должны констатировать, что [math]\displaystyle{ \rho }[/math] иррационально.

Ссылки

Weisstein, Eric W. Prime Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.