Константа Каэна

Константа Каэна — сумма знакочередующегося числового ряда, строящегося из членов ряда Сильвестра:

[math]\displaystyle{ C = \sum\frac{(-1)^i}{s_i-1} = \frac11 - \frac12 + \frac16 - \frac1{42} + \frac1{1806} - \cdots }[/math],

где [math]\displaystyle{ s_i }[/math] — [math]\displaystyle{ i }[/math]-й элемент последовательности Сильвестра. Приблизительное значение — 0,64341054629.

Названа по имени впервые исследовавшего данный ряд французского математика Эжена Каэна (фр. Eugène Cahen).

Может быть получена как сумма знакопостоянного ряда, образованного слагаемыми, обратными чётным членам последовательности Сильвестра (последовательностью приближений жадного алгоритма для египетских дробей):

[math]\displaystyle{ C = \sum\frac{1}{s_{2i}}=\frac12+\frac17+\frac1{1807}+\frac1{10650056950807}+\cdots }[/math].

Константа трансцендентна, притом является одним из немногих трансцендентных чисел, для которых известна полная цепная дробь — для последовательности 1, 1, 2, 3, 14, 129, 25298, 420984147, …, определённой рекуррентным уравнением [math]\displaystyle{ q_{n+2} = q_n^2 q_{n+1} + q_n }[/math], цепная дробь, соответствующая константе Каэна, представляется следующим образом:

[math]\displaystyle{ [0,1,q_0^2,q_1^2,q_2^2,\ldots] }[/math].

Литература

• Eugène Cahen. Note sur un développement des quantités numériques, qui présente quelque analogie avec celui en fractions continues // Nouvelles Annales de Mathématiques. — 1891. — Т. 10. — С. 508–514.
• J. Les Davison, Jeffrey O. Shallit. Continued fractions for some alternating series // Monatshefte für Mathematik. — 1991. — Т. 111, вып. 2. — С. 119–126. — doi:10.1007/BF01332350.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Cahen's Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• The Cahen constant to 4000 digits (неопр.). Plouffe's Inverter. Université du Québec à Montréal. Дата обращения: 19 марта 2011. Архивировано 17 марта 2011 года.