Интегральный логарифм

График функции [math]\displaystyle{ \mathrm{li}\,(x) }[/math]

Интегральный логарифм — специальная функция, определяемая интегралом

[math]\displaystyle{ \mathrm{li}\,(x)=\int\limits_0^x\frac{dt}{\ln t}. }[/math]

Для устранения сингулярности при [math]\displaystyle{ x=1 }[/math] иногда применяется сдвинутый интегральный логарифм:

[math]\displaystyle{ \mathrm{Li}\,(x)=\int\limits_2^x\frac{dt}{\ln t}. }[/math]

Эти две функции связаны соотношением:

[math]\displaystyle{ \mathrm{li}\,(x)-\mathrm{Li}\,(x)=\mathrm{li}\,(2)\approx 1{,}045~163~780~117~492\ldots }[/math]

Интегральный логарифм введён Леонардом Эйлером в 1768 году.

Интегральный логарифм и интегральная показательная функция связаны соотношением:

[math]\displaystyle{ \mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x). }[/math]

Интегральный логарифм имеет единственный положительный ноль в точке [math]\displaystyle{ \mu\approx 1{,}451~369~234~883~381~050~283~968~485~892~027~449~493\ldots }[/math] (число Рамануджана — Солднера).

Разложение в ряд

Из тождества, связывающего [math]\displaystyle{ \mathrm{li}\,(x) }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{Ei}(\ln x) }[/math] следует ряд:

[math]\displaystyle{ \mathrm{li}\,(x)=\mathrm{Ei}\,(\ln x)=\gamma+\ln\ln x+\sum_{n=1}^\infty\frac{(\ln x)^n}{n \cdot n!}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \gamma\approx 0{,}577~215~664~901~532\ldots }[/math] — постоянная Эйлера — Маскерони.

Быстрее сходится ряд, выведенный Сринивасой Рамануджаном:

[math]\displaystyle{ \mathrm{li}\,(x)=\gamma+\ln\ln x+\sqrt{x}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}(\ln x)^n}{2^{n-1}n!}\sum_{k=0}^{\lfloor(n-1)/2\rfloor}\frac{1}{2k+1}. }[/math]

Интегральный логарифм и распределение простых чисел

Интегральный логарифм играет важную роль в исследовании распределения простых чисел. Он представляет собой более точное приближение к числу простых чисел, не превосходящих заданного числа, чем [math]\displaystyle{ x/\ln{x} }[/math]. При справедливости гипотезы Римана выполняется

[math]\displaystyle{ \pi(x)=\mathrm{Li}\,(x)+O(\sqrt{x}\ln^2(x)). }[/math]

Для не слишком больших [math]\displaystyle{ x }[/math] [math]\displaystyle{ \pi(x)\lt \mathrm{Li}\,(x) }[/math], однако доказано, что при некотором достаточно большом [math]\displaystyle{ x }[/math] неравенство меняет знак. Это число называется числом Скьюза, в настоящее время известно, что оно заключено где-то между 10¹⁹ и 1,3971672·10³¹⁶ ≈ e^{727,951336108}.

Литература

• Математический энциклопедический словарь. — М., 1995. — с. 238.