Пластическое число

Иррациональные числа ζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π

В математике пластическое число (также известное как пластическая константа) — это единственный действительный корень уравнения

[math]\displaystyle{ x^3=x+1.\; }[/math]

Его численное значение

[math]\displaystyle{ \rho = \sqrt[3]{\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}\sqrt{\frac{23}{3}}}, }[/math]

приблизительно равно 1,32471795724474602596090885447809734073440405690173336453401505030282785124554759405469934798178728032991 … (цифры образуют последовательность A060006 в OEIS).

Пластическое число иногда также называют серебряным числом, но чаще это название используют для серебряного сечения [math]\displaystyle{ 1+\sqrt 2 }[/math].

Название пластическое число (изначально на голландском plastische getal) было дано в 1928 году Гансом ван дер Лааном. В отличие от названий золотого и серебряного сечений, слово пластический не имело никакого отношения к какому-либо веществу, а больше относилось к тому, что этому можно придать трехмерную форму (Padovan 2002; Shannon, Anderson, and Horadam 2006).

Свойства

Пластическое число является пределом отношения последовательных членов последовательностей Падована и Перрина и имеет для них такой же смысл, как золотое сечение для последовательности Фибоначчи и серебряное сечение для чисел Пелля.

Пластическое число также является корнем уравнений:

[math]\displaystyle{ x^5 = x^4 + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^5 = x^2 + x + 1 }[/math]

[math]\displaystyle{ x^5 = x^4 + x^3 - x }[/math]

[math]\displaystyle{ x^6 = x^2 + 2x + 1 }[/math]

и т. п.

Пластическое число представляется в виде бесконечно вложенных радикалов:

[math]\displaystyle{ \rho = \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{1 + \sqrt[3] { \cdots }}}} }[/math].

Пластическое число является наименьшим числом Пизо.

Ссылки

• Midhat J. Gazalé. Gnomon (неопр.). — Princeton University Press, 1999.
• Padovan, Richard (2002), «Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number», Nexus IV: Architecture and Mathematics, Kim Williams Books, pp. 181—193.
• Shannon, A. G.; Anderson, P. G.; Horadam, A. F. Properties of Cordonnier, Perrin and Van der Laan numbers (неопр.) // International Journal of Mathematical Education in Science and Technology. — 2006. — Т. 37, № 7. — С. 825—831. — doi:10.1080/00207390600712554.
• Ян Стюарт, Tales of a Neglected Number
• Piezas, Tito III; van Lamoen, Floor; Weisstein, Eric W. Plastic Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.