Сверхзолотое сечение

Сверхзолотое сечение — это иррациональное число, которое является действительным решением уравнения [math]\displaystyle{ x^3=x^2+1 }[/math]. Это число обозначается греческой буквой [math]\displaystyle{ \psi }[/math] и равно 1,46557123187676802665… (последовательность A092526 в OEIS). Это число равно

[math]\displaystyle{ \psi = \frac { 2 + \sqrt[3] { 116 + 12\sqrt{93} } + \sqrt[3] { 116 - 12\sqrt{93} } } {6} }[/math].

Последовательность коров Нараяны

Запрос «Последовательность коров Нараяны» перенаправляется сюда. На эту тему нужна отдельная статья.

Сверхзолотое сечение возникает в следующей задаче, которая является аналогом задачи о кроликах Фибоначчи: «Вначале есть одна молодая пара рогатого скота. Через три месяца после рождения они могут размножаться и с этого момента размножаются каждый месяц, рождая разнополую пару. Сколько пар будет через [math]\displaystyle{ n }[/math] месяцев?» Решением этой задачи является так называемая последовательность коров Нараяны, названная в честь индийского математика XIV века. Эта последовательность начинается следующим образом:

1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, ... (последовательность A000930 в OEIS).

Члены этой последовательности вычисляются по рекуррентной формуле:

[math]\displaystyle{ N_n=N_{n-1}+N_{n-3} }[/math],

где [math]\displaystyle{ N_{-1}=0 }[/math], [math]\displaystyle{ N_0=0 }[/math] и [math]\displaystyle{ N_1=1 }[/math].

Сверхзолотое сечение является пределом отношения соседних членов этой последовательности.