Константа Эмбри — Трефетена
Константа Эмбри — Трефетена — это математическая константа в теории чисел, обозначаемая β*. Приближённое значение константы 0,70258.[1]
Названа в честь математиков Марка Эмбри и Ллойда Н. Трефетена.
Описание
Для некоторого положительного числа [math]\displaystyle{ \beta }[/math] рассмотрим рекуррентную последовательность:
[math]\displaystyle{ x_{n+1}=x_n\pm\beta x_{n-1} }[/math]
где знак в сумме, плюс или минус, выбирается для каждого n случайно, с равной вероятностью.
Можно доказать, что для любого [math]\displaystyle{ \beta }[/math], предел
[math]\displaystyle{ \sigma(\beta)=\lim_{n \to \infty}({|x_n|}^{1/n}) }[/math]
существует почти наверняка.
Таким образом,
[math]\displaystyle{ \sigma \lt 1 }[/math] при [math]\displaystyle{ 0 \lt \beta \lt \beta^* }[/math] и [math]\displaystyle{ \sigma \gt 1 }[/math] при [math]\displaystyle{ \beta \gt \beta^* }[/math].
Для других значений [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] получаем:
[math]\displaystyle{ \sigma(1) = 1{,}13198824... }[/math](константа Висваната)
[math]\displaystyle{ \sigma(\beta^*) = 1 }[/math]
См. также
Примечания
- ↑ Mark Embree, Lloyd N. Trefethen. Growth and decay of random Fibonacci sequences (англ.) // Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences. — 1999. — Vol. 455, no. 1987. — P. 2471. Архивировано 4 марта 2016 года.