Положительно определённая матрица

В линейной алгебре положи́тельно определённая ма́трица — это эрмитова матрица, которая во многом аналогична положительному вещественному числу. Это понятие тесно связано с положительно определённой симметрической билинейной формой (или полуторалинейной формой в случае с комплексными числами).

Формулировки

Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] будет эрмитовой матрицей размерности [math]\displaystyle{ n \times n }[/math]. Обозначим транспонированный вектор [math]\displaystyle{ a }[/math] посредством [math]\displaystyle{ a^{T} }[/math], а сопряжённый транспонированный вектор — посредством [math]\displaystyle{ a^{*} }[/math].

Матрица [math]\displaystyle{ M }[/math] является положительно определённой, если она удовлетворяет любому из следующих равнозначных критериев:

1.	Для всех ненулевых комплексных векторов [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C}^n }[/math], [math]\displaystyle{ \textbf{z}^{} M \textbf{z} \gt 0. }[/math] Отметим, что величина [math]\displaystyle{ z^{} M z }[/math] всегда вещественна, поскольку [math]\displaystyle{ M }[/math] — эрмитова матрица.
2.	Все собственные значения [math]\displaystyle{ M }[/math], [math]\displaystyle{ \lambda_i, i = 1, 2, \dots, n }[/math], положительны. Любая эрмитова матрица по теореме о спектральном разложении может быть представлена как вещественная диагональная матрица [math]\displaystyle{ D }[/math], переведённая в другую систему координат (то есть [math]\displaystyle{ M = P^{-1}DP }[/math], где [math]\displaystyle{ P }[/math] — унитарная матрица, строками которой являются ортонормальные собственные векторы [math]\displaystyle{ M }[/math], образующие базис). По этому определению [math]\displaystyle{ M }[/math] — положительно определённая матрица, если все элементы главной диагонали [math]\displaystyle{ D }[/math] (или, другими словами, собственные значения [math]\displaystyle{ M }[/math]) положительны. То есть в базисе, состоящем из собственных векторов [math]\displaystyle{ M }[/math], действие [math]\displaystyle{ M }[/math] на вектор [math]\displaystyle{ z \in \mathbb{C}^n }[/math] равносильно покомпонентному умножению [math]\displaystyle{ z }[/math] на положительный вектор.
3.	Полуторалинейная форма [math]\displaystyle{ \langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y} }[/math] определяет скалярное произведение в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math]. Обобщая сказанное, любое скалярное произведение в [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math] образуется из эрмитовой положительно определённой матрицы.
4.	[math]\displaystyle{ M }[/math] — матрица Грама, образованная из множества линейно независимых векторов [math]\displaystyle{ \textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k }[/math] для какого-то [math]\displaystyle{ k }[/math]. Другими словами, элементы [math]\displaystyle{ M }[/math] определены следующим образом [math]\displaystyle{ M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{} \textbf{x}_j. }[/math] Таким образом, [math]\displaystyle{ M = A^{}A }[/math], где [math]\displaystyle{ A }[/math] инъективная, но не обязательно квадратная матрица.
5.	Определители всех угловых миноров матриц положительны (критерий Сильвестра). В соответствии с этим критерием у положительно полуопределённых матриц все угловые миноры неотрицательны, что, тем не менее, не является достаточным условием для положительной полуопределённости матрицы, как видно из следующего примера [math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}. }[/math]

Для вещественных симметричных матриц в вышеприведённых свойствах пространство [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math] может быть заменено на [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math], а сопряжённые транспонированные векторы на транспонированные.

Квадратичные формы

Также можно сформулировать положительную определённость через квадратичные формы. Пусть [math]\displaystyle{ K }[/math] будет полем вещественных ([math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]) или комплексных ([math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]) чисел, а [math]\displaystyle{ \mathbb{V} }[/math] будет векторным пространством над [math]\displaystyle{ K }[/math]. Эрмитова форма

[math]\displaystyle{ B : V \times V \rightarrow K }[/math]

является билинейным отображением, притом числом, сопряженным [math]\displaystyle{ B\left(x, y\right) }[/math], будет [math]\displaystyle{ B\left(y, x\right) }[/math]. Такая функция [math]\displaystyle{ B }[/math] называется положительно определённой, когда [math]\displaystyle{ B\left(x, x\right) \gt 0 }[/math] для любого ненулевого [math]\displaystyle{ x \in V }[/math].

Отрицательно определённая, полуопределённая и неопределённая матрицы

Эрмитова матрица [math]\displaystyle{ M }[/math] размерности [math]\displaystyle{ n \times n }[/math] будет называться отрицательно определённой, если

[math]\displaystyle{ x^{*} M x \lt 0 }[/math]

для всех ненулевых [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R}^n }[/math] (или, эквивалентным образом, для всех ненулевых [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{C}^n }[/math]).

[math]\displaystyle{ M }[/math] будет называться положительно полуопределённой (или неотрицательно определённой), если

[math]\displaystyle{ x^{*} M x \geq 0 }[/math]

для всех [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R}^n }[/math] (или, эквивалентным образом, для всех [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math]).

[math]\displaystyle{ M }[/math] будет называться отрицательно полуопределённой (или неположительно определённой), если

[math]\displaystyle{ x^{*} M x \leq 0 }[/math]

для всех [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{R}^n }[/math] (или, эквивалентным образом, для всех [math]\displaystyle{ \mathbb{C}^n }[/math])^[1].

Таким образом, матрица будет отрицательно определённой, если все её собственные значения отрицательны, положительно полуопределённой, если все её собственные значения неотрицательны, и отрицательно полуопределённой, если все её собственные значения неположительны^[2].

Матрица [math]\displaystyle{ M }[/math] будет положительно полуопределённой тогда и только тогда, когда она является матрицей Грама какого-нибудь множества векторов. В отличие от положительно определённой матрицы данные векторы не обязательно линейно независимы.

Для любой матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] выполняется следующее: [math]\displaystyle{ A^{*}A }[/math] — положительно полуопределённая, а [math]\displaystyle{ \operatorname{rank}\left(A\right) = \operatorname{rank}\left(A^{*}A\right) }[/math]. Обратное утверждение также верно: любая положительно полуопределённая матрица [math]\displaystyle{ M }[/math] может быть выражена как [math]\displaystyle{ M = A^{*}A }[/math] (разложение Холецкого).

Эрмитова матрица не являющаяся ни положительно, ни отрицательно полуопределённой называется неопределённой.

Дополнительные свойства

Введём обозначение [math]\displaystyle{ M \succeq 0 }[/math] для положительно полуопределённых матриц и [math]\displaystyle{ M \succ 0 }[/math] — для положительно определённых матриц.

Для произвольных квадратных матриц [math]\displaystyle{ M, N }[/math] будем писать [math]\displaystyle{ M \succeq N }[/math], если [math]\displaystyle{ M - N \succeq 0 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ M - N }[/math] положительно полуопределённая матрица. Таким образом, отношение [math]\displaystyle{ \succeq }[/math] определяет частичный порядок на множестве квадратных матриц. Подобным образом можно определить отношение полного порядка [math]\displaystyle{ M \succ N }[/math].

1.	Любая положительно определённая матрица обратима, а её обратная матрица также положительно определённая. Если [math]\displaystyle{ M \succeq N \succ 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ N^{-1} \succeq M^{-1} \succ 0 }[/math].
2.	Если [math]\displaystyle{ M }[/math] — положительно определённая матрица и [math]\displaystyle{ 0 \lt r \in \mathbb{R} }[/math], то [math]\displaystyle{ r \cdot M }[/math] положительно определённая матрица. Если [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math] — положительно определённые матрицы, то произведения [math]\displaystyle{ MNM }[/math] и [math]\displaystyle{ NMN }[/math] тоже положительно определённые. Если [math]\displaystyle{ M N = N M }[/math], то [math]\displaystyle{ M N }[/math] тоже положительно определённая.
3.	Если [math]\displaystyle{ M }[/math] — положительно определённая матрица, то элементы главной диагонали [math]\displaystyle{ m_{ii} }[/math] положительны. Следовательно, [math]\displaystyle{ \operatorname{trace}\left(M\right) \gt 0 }[/math]. Более того, [math]\displaystyle{ \| m_{ij} \| \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2} }[/math].
4.	[math]\displaystyle{ M }[/math] — положительно определённая матрица тогда и только тогда, когда существует положительно определённая [math]\displaystyle{ B \succ 0 }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ B^2 = M }[/math]. Обозначим [math]\displaystyle{ B = M^{\frac{1}{2}} }[/math]. Такая матрица [math]\displaystyle{ B }[/math] единственна при условии, что [math]\displaystyle{ B \succ 0 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ M \succ N \succ 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ M^{\frac{1}{2}} \gt N^{\frac{1}{2}}\gt 0 }[/math].
5.	Если [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math] — положительно определённые матрицы, то [math]\displaystyle{ M\otimes N \succ 0 }[/math] (где [math]\displaystyle{ \otimes }[/math] обозначает произведение Кронекера).
6.	Если [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math] — положительно определённые матрицы, то [math]\displaystyle{ M\circ N \succ 0 }[/math] (где [math]\displaystyle{ \circ }[/math] обозначает произведение Адамара). Когда [math]\displaystyle{ M,N }[/math] вещественные матрицы, выполняется также следующее неравенство (неравенство Оппенхейма): [math]\displaystyle{ \det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii} }[/math].
7.	Если [math]\displaystyle{ M }[/math] — положительно определённая матрица, а [math]\displaystyle{ N }[/math] — эрмитова матрица и [math]\displaystyle{ MN + NM \succeq 0 }[/math] [math]\displaystyle{ \left( MN+NM \succ 0 \right) }[/math], то [math]\displaystyle{ N \succeq 0 }[/math] [math]\displaystyle{ \left( N \succ 0 \right) }[/math].
8.	Если [math]\displaystyle{ M }[/math] и [math]\displaystyle{ N }[/math] — положительно полуопределённые вещественные матрицы, то [math]\displaystyle{ \operatorname{trace}\left(MN\right)\succeq 0 }[/math].
9.	Если [math]\displaystyle{ M }[/math] — положительно определённая вещественная матрица, то существует число [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ M\succeq \delta I }[/math], где [math]\displaystyle{ I }[/math] — единичная матрица.

Неэрмитовы матрицы

Вещественные несимметрические матрицы тоже могут удовлетворять неравенству [math]\displaystyle{ x^T M x \gt 0 }[/math] для всех ненулевых вещественных векторов [math]\displaystyle{ x }[/math]. Такой, к примеру, является матрица

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}, }[/math]

поскольку для всех ненулевых вещественных векторов [math]\displaystyle{ x = (x_1, x_2)^T }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 \gt 0 . }[/math]

Обобщая, [math]\displaystyle{ x^T M x \gt 0 }[/math] для всех ненулевых вещественных векторов [math]\displaystyle{ x }[/math] тогда и только тогда, когда симметрическая часть [math]\displaystyle{ \frac{M + M^T}{2} }[/math] положительно определённая.

Для комплексных матриц существует несколько обобщений неравенства [math]\displaystyle{ x^{*} M x \gt 0 }[/math]. Если [math]\displaystyle{ x^{*} M x \gt 0 }[/math] для всех ненулевых комплексных векторов [math]\displaystyle{ x }[/math], тогда матрица [math]\displaystyle{ M }[/math] эрмитова. То есть если [math]\displaystyle{ x^{*} M x \gt 0 }[/math], то [math]\displaystyle{ M }[/math] эрмитова. С другой стороны, [math]\displaystyle{ \operatorname{Re}\left(x^{*} M x\right) \gt 0 }[/math] для всех ненулевых комплексных векторов [math]\displaystyle{ x }[/math] тогда и только тогда, когда эрмитова часть [math]\displaystyle{ \frac{M + M^{*}}{2} }[/math] положительно определённая.

См. также

Примечания

↑ Николай Боголюбов, Анатолий Логунов, Анатолий Оксак, Иван Тодоров. Общие принципы квантовой теории поля. — ФИЗМАТЛИТ, 2006. — С. 20. — 744 с. — ISBN 9785457966253.
↑ Василий Фомичев, Андрей Фурсов, Сергей Коровин, Станислав Емельянов, Александр Ильин. Математические методы теории управления. Проблемы устойчивости, управляемости и наблюдаемости. — ФИЗМАТЛИТ, 2014. — С. 182. — 200 с. — ISBN 9785457964747.

Литература

R. A. Horn, C. R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, Ch. 7, 1985.
R. Bhatia, Positive definite matrices, Princeton Series in Applied Mathematics, 2007.

[1] Николай Боголюбов, Анатолий Логунов, Анатолий Оксак, Иван Тодоров. Общие принципы квантовой теории поля. — ФИЗМАТЛИТ, 2006. — С. 20. — 744 с. — ISBN 9785457966253.

[2] Василий Фомичев, Андрей Фурсов, Сергей Коровин, Станислав Емельянов, Александр Ильин. Математические методы теории управления. Проблемы устойчивости, управляемости и наблюдаемости. — ФИЗМАТЛИТ, 2014. — С. 182. — 200 с. — ISBN 9785457964747.

[1]

[2]