Нормальная матрица

В математике комплексная квадратная матрица A называется нормальной, если

[math]\displaystyle{ A^*A=AA^* }[/math]

где A^∗ — это сопряженно-транспонированная матрица к A. Таким образом, матрица нормальна тогда и только тогда, когда она коммутирует со своей сопряженно-транспонированной.

Для вещественной матрицы A выполняется A^∗ = A^T, и поэтому она нормальна, если A^TA = AA^T.

Нормальность является удобным тестом для приводимости к диагональной форме — матрица нормальна тогда и только тогда, когда она унитарно подобна диагональной матрице, а потому любая матрица A, удовлетворяющая уравнению A^∗A = AA^∗, допускает приведение к диагональной форме. (Две матрицы A и B называются унитарно подобными, если существует унитарная матрица S, для которой A = S^-1BS.)

Понятие нормальной матрицы можно распространить на нормальные операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах и нормальные элементы в C*-алгебрах.

Специальные случаи

Среди комплексных матриц все унитарные, эрмитовы и косоэрмитовы матрицы нормальны. Среди вещественных матриц все ортогональные, симметричные и кососимметричные матрицы нормальны. Однако неверно, что все нормальные матрицы либо унитарны, либо эрмитовы, либо косоэрмитовы. Например,

[math]\displaystyle{ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]

не является ни унитарной, ни эрмитовой, ни косоэрмитовой, хотя и нормальна, поскольку

[math]\displaystyle{ AA^* = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} = A^*A. }[/math]

Следствия

Предложение. Нормальная треугольная матрица диагональна.

Пусть A — нормальная верхне-треугольная матрица. Поскольку (A^∗A)_ii = (AA^∗)_ii, первая строка должна иметь ту же норму, что и первый столбец:

[math]\displaystyle{ \left \|A e_1 \right\|^2 = \left \|A^* e_1 \right \|^2. }[/math]

Первые элементы первой строки и первого столбца совпадают, а остаток первого столбца состоит из нулей. Из этого следует, что и в строке все элементы от 2 до n должны быть нулевыми. Продолжая эти рассуждения для пар строка/столбец с номерами от 2 до n, получим, что A диагональна.

Понятие нормальности важно, поскольку нормальные матрицы — это в точности те, которых касается спектральная теорема:

Предложение. Матрица A нормальна тогда и только тогда, когда существует диагональная матрица Λ и унитарная матрица U, такие что A = UΛU ^∗.

Диагональные элементы матрицы Λ являются собственными числами, а столбцы U — собственными векторами матрицы A. (собственные значения в Λ идут в том же порядке, что и соответствующие им собственные вектора в U).

Другим способом высказать утверждение спектральной теоремы является утверждение, что нормальные матрицы — это в точности те матрицы, которые можно представить в виде диагональной матрицы путём выбора подходящего ортонормального базиса пространства Cⁿ. Также можно утверждать, что матрица нормальна тогда и только тогда, когда её собственное пространство совпадает с Cⁿ и собственные вектора ортогональны по стандартному скалярному произведению в Cⁿ.

Спектральная теорема для нормальных матриц является специальным случаем более общего разложения Шура, которое выполняется для всех квадратных матриц. Пусть A — квадратная матрица. Тогда, согласно разложению Шура, она унитарно подобна верхней треугольной матрице, скажем, B. Если A нормальна, то и B нормальна тоже. Но тогда B должна быть диагональной по причине, изложенной выше.

Спектральная теорема позволяет классифицировать нормальные матрицы в терминах спектра, например:

Предложение. Нормальная матрица унитарна тогда и только тогда, когда её спектр лежит на единичном круге комплексной плоскости.

Предложение. Нормальная матрица является самосопряжённой тогда и только тогда, когда её спектр содержится в R.

В общем случае сумма или произведение двух нормальных матриц не обязательно будет нормальной матрицей. Однако выполняется следующее:

Предложение. Если A и B нормальны и выполняется AB = BA, то и AB, и A + B также нормальны. Более того, существует унитарная матрица U, такая, что UAU ^∗ и UBU ^∗ диагональны. Другими словами, A и B совместно приводимы к диагональной форме^[англ.].

В этом частном случае столбцы матрицы U ^∗ являются собственными векторами, как A, так и B, и образуют ортонормальный базис в Cⁿ. Утверждение следует из теорем, что над алгебраически замкнутым полем коммутирующие матрицы совместно приводимы к треугольному виду^[англ.] и что нормальная матрица приводима к диагональной, в последнем случае с дополнением, что это можно сделать одновременно.

Эквивалентные определения

Можно дать довольно длинный список эквивалентных определений нормальной матрицы. Пусть A — n × n комплексная матрица. Следующие высказывания эквивалентны:

A нормальна.
A является приводимой к диагональной форме^[англ.] с помощью унитарной матрицы.
Все точки пространства можно получить как линейные комбинации некоторого набора ортонормальных собственных векторов матрицы A.
||Ax|| = ||A^∗x|| для любого x.
Норму Фробениуса матрицы A можно вычислить по собственным значениям матрицы A: [math]\displaystyle{ \operatorname{tr} (A^* A) = \sum\nolimits_j |\lambda_j|^2. }[/math]
Эрмитова часть [math]\displaystyle{ (A + A^\ast)/2 }[/math] и косоэрмитова часть [math]\displaystyle{ (A - A^{\ast})/2 }[/math] матрицы A коммутируют.
A^∗ является многочленом (степени ≤ n − 1) от A^[1].
A^∗ = AU для некоторой унитарной матрицы U^[2].
U и P коммутируют, где U и P представляют полярное разложение A = UP на унитарную матрицу U и некую положительно определённую матрицу P.
A коммутирует с некоторой нормальной матрицей N, имеющей различные собственные значения.
σ_i = |λ_i| для всех 1 ≤ i ≤ n, где A имеет сингулярные собственные значения^[англ.] σ₁ ≥ ... ≥ σ_n и собственные вектора |λ₁| ≥ ... ≥ |λ_n|.^[3]
Операторная норма нормальной матрицы A равна числовому^[англ.] и спектральному радиусу^[англ.] матрицы A. Это означает:

[math]\displaystyle{ \sup_{ \|x\|=1 } \|Ax\| = \sup_{ \|x\|=1 } |\langle Ax, x \rangle| = \max \{ |\lambda| : \lambda \in \sigma(A) \} }[/math]

Некоторые, но не все перечисленные выше определения можно обобщить до нормальных операторов в бесконечномерных гильбертовых пространствах. Например, ограниченный оператор, удовлетворяющий (9), является лишь квазинормальным^[англ.].

Аналогии

Иногда полезно (а иногда это и вводит в заблуждение) рассматривать связи различных видов нормальных матриц как аналогию различных видов комплексных чисел:

Обратимые матрицы являются аналогом ненулевых комплексных чисел
Сопряжено-транспонированная матрица является аналогом сопряжённого числа
Унитарные матрицы является аналогом комплексных чисел с абсолютной величиной 1
Эрмитовы матрицы являются аналогами вещественных чисел
Эрмитовы положительно определённые матрицы являются аналогами положительных вещественных чисел
Косоэрмитовы матрицы являются аналогами чисто мнимых чисел

Можно комплексные числа вложить в нормальные 2 × 2 вещественные матрицы путём отображения

[math]\displaystyle{ a+bi \mapsto \begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}, }[/math]

и при этом вложении сохраняются сложение и умножение. Легко проверить, что при этом сохранятся все вышеперечисленные аналогии.

Примечания

↑ Доказательство: Если A нормальна, используем формулу интерполяции Лагранжа для построения многочлена P , такого, что λ_j = P(λ_j), где λ_j — собственные значения матрицы A.
↑ Horn, pp. 109
↑ Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Topics in Matrix Analysis. — Cambridge University Press, 1991. — С. 157. — ISBN 978-0-521-30587-7.

Ссылки

Horn, Roger A. & Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-38632-6 .

[1] Доказательство: Если A нормальна, используем формулу интерполяции Лагранжа для построения многочлена P , такого, что λ_j = P(λ_j), где λ_j — собственные значения матрицы A.

[2] Horn, pp. 109

[book-3] Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Topics in Matrix Analysis. — Cambridge University Press, 1991. — С. 157. — ISBN 978-0-521-30587-7.

[1]

[2]

[3]