След матрицы

След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если [math]\displaystyle{ a_{ij} }[/math] элементы матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], то её след [math]\displaystyle{ \mathop{\rm tr} \;A=\sum_i a_{i i} }[/math]. Матрицы с нулевым следом называют бесследовыми (от англ. traceless или tracefree).

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: [math]\displaystyle{ \mathop{\rm tr} \;A }[/math] (от англ. trace — след), и [math]\displaystyle{ \mathop{\rm Sp} \;A }[/math] (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга (один раз ковариантного и один раз контравариантного) называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: [math]\displaystyle{ {\rm tr} A=I_1(A)=g\cdot\cdot A }[/math].

Определение

Под следом квадратной матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ n \times n }[/math] понимают:

[math]\displaystyle{ \mathrm{tr} \; A = \sum_{i = 1}^n a_{i,i} = a_{1,1} + a_{2,2} + \cdots + a_{n,n}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ a_{i,i} }[/math] — элементы главной диагонали:

[math]\displaystyle{ \mathrm{tr} \; \begin{pmatrix} \color{red}{a_{1,1}} & \cdots & a_{1,n} \\ \vdots & \color{red}{\ddots} & \vdots \\ a_{n,1} & \cdots & \color{red}{a_{n,n}} \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^n \color{red}{a_{i,i}} }[/math].

Свойства

• Линейность [math]\displaystyle{ \mathop{\rm tr} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathop{\rm tr} \;A+\beta \mathop{\rm tr} \;B }[/math].
• [math]\displaystyle{ \mathop{\rm tr} \;(A B ) = \mathop{\rm tr} \;(B A) }[/math].

  Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: [math]\displaystyle{ \mathop{\rm tr}\;(C^{-1}AC) = \mathop{\rm tr}\; A }[/math].

• [math]\displaystyle{ \mathop{\rm tr} \;A=\mathop{\rm tr} \;A^\mathrm{T} }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathrm{T} }[/math] означает операцию транспонирования.
• [math]\displaystyle{ \ln \det A = \mathop{\rm tr} \; \ln A }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ A\otimes B }[/math] тензорное произведение матриц A и B, то [math]\displaystyle{ \mathop{\rm tr} \;A\otimes B =(\mathop{\rm tr} \;A) (\mathop{\rm tr} \;B) }[/math].
• След матрицы равен сумме её собственных значений.
• Определитель квадратной матрицы [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие [math]\displaystyle{ n }[/math]. Например [math]\displaystyle{ \det A_{3\times 3} = \frac{1}{6}\left((\mathop{\rm tr} A)^3-3\mathop{\rm tr} A\cdot \mathop{\rm tr} A^2+2\mathop{\rm tr} A^3\right) }[/math].

Геометрическое свойство

• [math]\displaystyle{ \mathop{\rm det}( E + G\varepsilon ) = 1 + \mathop{\rm tr} G\ \varepsilon \ + o(\varepsilon) }[/math],

где E — единичная матрица, ε — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объём на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объёма при таком преобразовании равна следу его генератора.

• Следствия:
  • [math]\displaystyle{ \mathop{\rm det}\ \mathop{\rm exp}( G\alpha ) = 1 + \mathop{\rm tr} G\ \alpha \ }[/math] для малых α
  • Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.

См. также

• След (теория полей)

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Trace of a square matrix, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4