Невырожденная матрица

Невырожденная матрица (иначе неособенная матрица) ― квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной.

Для квадратной матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math] с элементами из некоторого поля [math]\displaystyle{ K }[/math] невырожденность эквивалентна каждому из следующих условий:

• [math]\displaystyle{ M }[/math] обратима, то есть существует обратная матрица;
• строки (столбцы) матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math] линейно независимы;
• ранг матрицы [math]\displaystyle{ M }[/math] равен её размерности.

Совокупность всех невырожденных матриц порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] образует группу, которая называется полная линейная группа. Роль групповой операции в ней играет обычное умножение матриц. Полная линейная группа обычно обозначается как [math]\displaystyle{ GL(n) }[/math]. Если требуется явно указать, какому полю [math]\displaystyle{ K }[/math] должны принадлежать элементы матрицы, то пишут [math]\displaystyle{ GL(n,K) }[/math]. Так, если элементами являются действительные числа, полная линейная группа порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ GL(n,\mathbb{R}) }[/math], а если комплексные числа, то [math]\displaystyle{ GL(n,\mathbb{C}) }[/math].

Матрица порядка [math]\displaystyle{ n }[/math] заведомо невырождена, если это:

• диагональная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу [math]\displaystyle{ D(n,K) }[/math]);
• верхняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами (такие матрицы образуют группу [math]\displaystyle{ T(n,K) }[/math]);
• нижняя треугольная матрица с ненулевыми диагональными элементами;
• унитреугольная матрица (т.е. верхние треугольные матрицы у которых диагональные элементы равны 1; такие матрицы образуют группу [math]\displaystyle{ UT(n,K) }[/math]).
• матрица [math]\displaystyle{ M }[/math] является результатом взятия матричной экспоненты от матрицы [math]\displaystyle{ A \in M_{n}(\C) }[/math], то есть [math]\displaystyle{ M = e^{A} }[/math]

Литература

• Кострикин, А. И. Введение в алгебру (рус.). — М.: Наука, 1977. — 496 с.
• Кострикин, А. И., Манин, Ю. И. Линейная алгебра и геометрия (рус.). — М.: Наука, 1986. — 304 с.
• Рохлин, В. А., Фукс, Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы (рус.). — М.: Наука, 1977.
• Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц (рус.). — 2-е изд., доп.. — М.: Наука, 1966. — 576 с.