Вырожденная матрица

Вы́рожденная ма́трица (синонимы: сингуля́рная ма́трица, осо́бая ма́трица, осо́бенная ма́трица) — квадратная матрица [math]\displaystyle{ A, }[/math] определитель которой [math]\displaystyle{ \det(A) }[/math] равен нулю.

Эквивалентные условия вырожденности

Используя различные понятия линейной алгебры, можно привести различные условия вырожденности:

Строки или столбцы матрицы линейно зависимы. В частном случае, если в вырожденной матрице существует как минимум две строки (или два столбца) [math]\displaystyle{ \bf{x}_i }[/math] и [math]\displaystyle{ \bf{x}_j, }[/math] отвечающие условию [math]\displaystyle{ a\bf{x}_i = \bf{x}_j, }[/math] где a — скаляр, то матрица будет вырожденной. Отсюда следует и тривиальный случай, что вырождена любая квадратная матрица, содержащая нулевой столбец или строку.
Квадратная матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] вырождена тогда и только тогда, когда существует ненулевой вектор [math]\displaystyle{ x, }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ Ax = 0. }[/math] Иными словами, линейный оператор, соответствующий матрице в стандартном базисе, имеет ненулевое ядро.
Квадратная матрица [math]\displaystyle{ A }[/math] вырождена тогда и только тогда, когда у неё есть хотя бы одно нулевое собственное значение [math]\displaystyle{ \lambda = 0. }[/math] Это вытекает из уравнения, которому удовлетворяют все собственные значения матрицы: [math]\displaystyle{ \det(A - \lambda E) = 0 }[/math] (где E — единичная матрица), а также из того факта, что определитель матрицы равен произведению её собственных значений.

Свойства

У вырожденной матрицы нет стандартной обратной матрицы. В то же время у вырожденной матрицы есть псевдообратная матрица (обобщённая обратная матрица) или даже их бесконечное количество.
Ранг вырожденной матрицы меньше её размера (числа строк).
Произведение вырожденной матрицы и любой квадратной матрицы с тем же размером даёт вырожденную матрицу. Это вытекает из свойства [math]\displaystyle{ \det(AB) = \det(A)\cdot \det(B). }[/math] Вырожденная матрица, возведённая в любую целую положительную степень, остаётся вырожденной. Произведение любого количества матриц вырождено тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей вырожден. Произведение невырожденных матриц не может быть вырожденным.
Транспонирование вырожденной матрицы оставляет её вырожденной (поскольку транспонирование не изменяет определитель матрицы, [math]\displaystyle{ \det(A^T) = \det(A) }[/math]).
Умножение вырожденной матрицы на скаляр оставляет её вырожденной (поскольку [math]\displaystyle{ \det(\alpha A) = \alpha^n \det(A) = 0 }[/math], где n — размер вырожденной матрицы A, α — скаляр).
Эрмитово-сопряжённая матрица вырожденной матрицы вырождена (поскольку определитель эрмитово-сопряжённой матрицы комплексно сопряжён с определителем исходной матрицы и, следовательно, равен нулю).
Союзная (взаимная, присоединённая) матрица вырожденной матрицы вырождена (это вытекает из свойства союзных матриц [math]\displaystyle{ \det(\operatorname{adj}(A)) = (\det A)^{n-1} }[/math]). Произведение вырожденной матрицы на союзную ей матрицу даёт нулевую матрицу: [math]\displaystyle{ A\cdot \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A)\cdot A = 0, }[/math] поскольку для произвольной квадратной матрицы [math]\displaystyle{ A \cdot \operatorname{adj}(A) = \operatorname{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot E. }[/math]
Треугольная (и, в частности, диагональная) матрица вырождена тогда и только тогда, когда хотя бы один из её элементов на главной диагонали нулевой. Это вытекает из того, что определитель треугольной матрицы равен произведению элементов на её главной диагонали.
Если матрица A вырождена, то система уравнений [math]\displaystyle{ Ax = 0 }[/math] имеет ненулевые решения.
Перестановка строк или столбцов вырожденной матрицы даёт вырожденную матрицу.
Вырожденная матрица, рассматриваемая как линейный оператор, отображает векторное пространство в его подпространство меньшей размерности.

Частные случаи

Вырожденными матрицами являются, в частности:

нулевая матрица (состоящая из одних нулей);
матрица единиц (состоящая из одних единиц) при размере n > 1;
нильпотентные матрицы (матрицы, какая-либо натуральная степень которых является нулевой матрицей);
- сдвиговые матрицы (подмножество нильпотентных матриц);
матрица Вандермонда, если хотя бы два её параметра совпадают;
Матрицы Гелл-Манна в стандартном представлении (кроме λ₈);
Матрица Кирхгофа (известна также как матрица Лапласа) — матричное представление графа.

См. также

Литература

Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц (рус.). — 2-е изд.. — М.: Наука, 1966.
Ланкастер, П. Теория матриц (рус.). — М.: Наука, 1973.