Скалярная матрица

Скалярная матрица — диагональная матрица, элементы главной диагонали которой равны. Частным случаем скалярной матрицы является единичная матрица.

[math]\displaystyle{ A_n = \begin{pmatrix} a & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & a & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a \end{pmatrix} }[/math]

Свойства

• Скалярная матрица — это произведение скаляра и единичной матрицы.

[math]\displaystyle{ a \cdot E_n = A_n }[/math]

• Множество скалярных матриц [math]\displaystyle{ n\times n }[/math] — это в точности те матрицы, которые коммутируют со всеми матрицами [math]\displaystyle{ n\times n }[/math], то есть для любой скалярной матрицы [math]\displaystyle{ S }[/math] и матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] того же размера [math]\displaystyle{ AS = SA. }[/math]
• [math]\displaystyle{ \operatorname{det} A_n = a ^ n }[/math]
• [math]\displaystyle{ \operatorname{rang} A_n = \begin{cases} n, & a \not = 0 \\ 0, & a = 0. \end{cases} }[/math]
• [math]\displaystyle{ A_n^{-1} = \frac{1}{a} E_n }[/math], где [math]\displaystyle{ E_n }[/math] - единичная матрица
• Скалярные матрицы образуют поле, изоморфное полю, которому принадлежат элементы матрицы (например, действительных или комплексных чисел).