Перейти к содержанию

Ранг матрицы

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Рангом матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] является размерность пространства столбцов матриц [math]\displaystyle{ \text{Col}(A) }[/math]. Дефектом матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] (дефектом ядра матрицы) (англ. nullity), обозначаемым [math]\displaystyle{ \text{nullity}(A) }[/math], является размерность нуль-пространства [math]\displaystyle{ \text{Nul}(A) }[/math]. То есть для того чтобы определить дефект матрицы необходимо найти базис нуль-пространства: [math]\displaystyle{ \text{Nul}(A) }[/math].

Таким образом, рангом системы строк (столбцов) матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] с [math]\displaystyle{ m }[/math] строками и [math]\displaystyle{ n }[/math] столбцами называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков всевозможных ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы любого размера ноль. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг равен единице, и т.д.

Ранг матрицы — размерность образа [math]\displaystyle{ \dim (\operatorname{im} (A)) }[/math] линейного оператора, которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] обозначается [math]\displaystyle{ \operatorname{rang}A }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{r}A }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{rg}A }[/math], [math]\displaystyle{ \operatorname{rk}A }[/math] или [math]\displaystyle{ \operatorname{rank}A }[/math] (или [math]\displaystyle{ \operatorname{rank}(A) }[/math]). Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первые два — для немецкого, французского и ряда других языков.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ A_{m\times n} }[/math] — прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] является:

  • ноль, если [math]\displaystyle{ A }[/math] — нулевая матрица;
  • число [math]\displaystyle{ r\in\mathbb{N}:\;\exist M_r\neq 0,\;\forall M_{r+1}=0 }[/math], где [math]\displaystyle{ M_r }[/math] — минор матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] порядка [math]\displaystyle{ r }[/math], а [math]\displaystyle{ M_{r+1} }[/math] — окаймляющий к нему минор порядка [math]\displaystyle{ (r+1) }[/math], если они существуют.

Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы [math]\displaystyle{ A_{m\times n} }[/math] порядка [math]\displaystyle{ k }[/math] равны нулю ([math]\displaystyle{ M_k=0 }[/math]). Тогда [math]\displaystyle{ \forall M_{k+1}=0 }[/math], если они существуют.

Примеры

Матрица [math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix}1&1&0&2\\-1&-1&0&-2\end{bmatrix} }[/math] имеет ранг 1, то есть является одноранговой, так как любые два столбца являются линейно зависимыми.

Связанные определения

  • Ранг матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] размера [math]\displaystyle{ m \times n }[/math] называют полным, если [math]\displaystyle{ \operatorname{rang}A = \min\{m, n\} }[/math].
  • Базисный минор матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] — любой ненулевой минор матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] порядка [math]\displaystyle{ r }[/math], где [math]\displaystyle{ r=\operatorname{rang}A }[/math].
    • Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)

Свойства

Ранг и дефект матрицы Ранг матрицы равен числу ее ведущих столбцов. Дефект матрицы равен числу свободных переменных в параметрической векторной форме множества решений матрицы [math]\displaystyle{ Ax=0 }[/math], что соответствует количеству столбцов без ведущего элемента.

[math]\displaystyle{ \text{rank}(A) = \text{dim Col}(A) = \text{число столбцов с ведущим элментом} }[/math], где [math]\displaystyle{ Col(A) }[/math] - пространство столбцов
[math]\displaystyle{ \text{nullity}(A) = \text{dim Nul}(A) = \text{число свободных переменных} = \text{количество столбцов без ведущего элемента} }[/math], где [math]\displaystyle{ Nul(A) }[/math] - нуль-пространство

Следовательно,

[math]\displaystyle{ \text{число столбцов с ведущим элментом}+\text{количество столбцов без ведущего элемента}=\text{количество столбцов} }[/math]

Теорема о ранге матрицы Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] -матрицы, имеющая [math]\displaystyle{ n }[/math] столбцов. Тогда:

[math]\displaystyle{ \text{rank}(A)+\text{nullity}(A)=n }[/math]

То есть, для совместной системы линейных алгебраических уравнений верно: (размерность линейной оболочки)+(размерность множества решений системы линейных алгебраических уравнений)=(количество переменных)

Теорема о ранге матрицы дает строгую корреляцию между нуль-пространством матрицы (множеством решений [math]\displaystyle{ Ax=0 }[/math]) и пространством столбцов (множеством векторов [math]\displaystyle{ b }[/math] из совместной системы уравнений [math]\displaystyle{ Ax=b }[/math]; векторы [math]\displaystyle{ b }[/math] находятся в линейной оболочке векторов-столбцов матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math]). Чем больше выбор [math]\displaystyle{ x }[/math], тем меньше выбор [math]\displaystyle{ b }[/math], и наоборот.

Теорема о ранге матрицы - это пример того, как линейная алгебра позволяет нам давать качественную характеристику системы линейных алгебраических уравнений даже не решая ее.

Теорема о ранге матрицы имеет фундаментальное значение в линейной алгебре. Теорема позволяет анализировать структуру линейного преобразования и применяется в различных областях - информатике, физике, инженерном деле.

Теорема (о базисном миноре): Пусть [math]\displaystyle{ r=\operatorname{rang}A, M_r }[/math] — базисный минор матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], тогда:

  • базисные строки и базисные столбцы линейно независимы;
  • любая строка (столбец) матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] есть линейная комбинация базисных строк (столбцов).

Следствия:

  • Если ранг матрицы равен [math]\displaystyle{ r }[/math], то любые [math]\displaystyle{ p\colon p\gt r }[/math] строк или столбцов этой матрицы будут линейно зависимы.
  • Если [math]\displaystyle{ A }[/math] — квадратная матрица, и [math]\displaystyle{ \det A=0 }[/math], то строки и столбцы этой матрицы линейно зависимы.
  • Пусть [math]\displaystyle{ r=\operatorname{rang}A }[/math], тогда максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы равно [math]\displaystyle{ r }[/math].

Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение [math]\displaystyle{ A\sim B }[/math] для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями. Тогда справедливо утверждение: Если [math]\displaystyle{ A\sim B }[/math], то их ранги равны.

Теорема Кронекера — Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

  • Количество главных переменных системы равно рангу системы.
  • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

Неравенство Сильвестра: Если A и B матрицы размеров [math]\displaystyle{ m \times n }[/math] и [math]\displaystyle{ n \times k }[/math], то

[math]\displaystyle{ \operatorname{rang} AB \geq \operatorname{rang} A + \operatorname{rang} B - n }[/math]

Это частный случай следующего неравенства.

Неравенство Фробениуса: Если AB, BC, ABC корректно определены, то

[math]\displaystyle{ \operatorname{rang} ABC \geq \operatorname{rang} AB + \operatorname{rang} BC - \operatorname{rang} B }[/math]

Линейное преобразование и ранг матрицы

Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] — матрица размера [math]\displaystyle{ m \times n }[/math] над полем [math]\displaystyle{ C }[/math] (или [math]\displaystyle{ R }[/math]). Пусть [math]\displaystyle{ T }[/math] — линейное преобразование, соответствующее [math]\displaystyle{ A }[/math] в стандартном базисе; это значит, что [math]\displaystyle{ T(x)=Ax }[/math]. Ранг матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] — это размерность образа преобразования [math]\displaystyle{ T }[/math].

Методы

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

Метод элементарных преобразований. Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице [math]\displaystyle{ A }[/math] найден ненулевой минор [math]\displaystyle{ k }[/math]-го порядка [math]\displaystyle{ M }[/math]. Рассмотрим все миноры [math]\displaystyle{ (k+1) }[/math]-го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор [math]\displaystyle{ M }[/math]; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен [math]\displaystyle{ k }[/math]. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

Литература

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Ранг_матрицы&oldid=28179875