Гомоморфизм групп

В математике, если заданы две группы (G, ∗) и (H, •), гомоморфизм групп из (G, ∗) в (H, •) — это функция h : G → H, такая, что для всех u и v из G выполняется

[math]\displaystyle{ h(u*v) = h(u) \cdot h(v), }[/math]

где групповая операция слева от знака "=" относится к группе G, а операция справа относится к группе H.

Отсюда можно вывести, что h отображает нейтральный элемент e_G группы G в нейтральный элемент e_H группы H, а также отображает обратные элементы в обратные в том смысле, что

[math]\displaystyle{ h(u^{-1}) = h(u)^{-1}. }[/math]

Таким образом, можно сказать, что h "сохраняет групповую структуру".

В более ранних работах h(x) могло обозначаться как x_h, хотя это может привести к путанице с индексами. В последнее время наметилась тенденция опускать скобки при записи гомоморфизма, так что h(x) превращается просто в x h. Эта тенденция особенно заметна в областях теории групп, где применяется автоматизация, поскольку это лучше согласуется с принятым в автоматах чтении слов слева направо.

В областях математики, где группы снабжаются дополнительными структурами, гомоморфизм иногда понимается как отображение, сохраняющее не только структуру группы (как выше), но и дополнительную структуру. Например, гомоморфизм топологических групп часто предполагается непрерывным.

Понятие

Цель определения гомоморфизма группы — создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма группы: Функция h : G → H является гомоморфизмом группы, если из a ∗ b = c следует h(a) ⋅ h(b) = h(c). Другими словами, группа H в некотором смысле подобна алгебраической структуре G и гомоморфизм h сохраняет её.

Образ и ядро

Определим ядро h как множество элементов из G, которые отображаются в нейтральный элемент в H

[math]\displaystyle{ \ker(h) := \{u \in G : h(u) = e_{H}\}\mbox{.} }[/math]

и образ h как

[math]\displaystyle{ \mathop{\mathrm{Im}}(h) := h(G) :=\left\{h(u)\colon u\in G\right\}\mbox{.} }[/math]

Ядро h является нормальной подгруппой G, а образ h является подгруппой H:

[math]\displaystyle{ h\left(g^{-1} \circ u\circ g\right)= h(g)^{-1}\cdot h(u)\cdot h(g) = h(g)^{-1}\cdot e_H\cdot h(g) = h(g)^{-1}\cdot h(g) = e_H. }[/math]

Гомоморфизм h является инъективным (и называется мономорфизмом группы) в том и только в том случае, когда ker(h) = {e_G}.

Ядро и образ гомоморфизма можно понимать как измерение, насколько гомоморфизм близок к изоморфизму. Первая теорема об изоморфизме утверждает, что образ гомоморфизма группы h(G) изоморфен факторгруппе G/ker h.

Примеры

Возьмём циклическую группу [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} = {0, 1, 2} }[/math] и группу целых чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math] по сложению. Отображение [math]\displaystyle{ h: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} }[/math] с [math]\displaystyle{ h(u) = u \bmod 3 }[/math] является гомоморфизмом. Оно сюръективно, и его ядро состоит из целых чисел, делящихся на 3.

Возьмём группу

[math]\displaystyle{ G:=\left\{\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2\bigg| \exists a\gt 0,b\in\mathbb{R}\right\} }[/math]

Для любого комплексного числа [math]\displaystyle{ u }[/math] функция [math]\displaystyle{ f^u: G \to \mathbb{C} }[/math], определённая как:

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\mapsto a^u }[/math]

является гомоморфизмом.

Возьмём группу положительных вещественных чисел с операцией умножения [math]\displaystyle{ (\mathbb{R}^+, \cdot) }[/math]. Для любого комплексного числа [math]\displaystyle{ u }[/math] функция [math]\displaystyle{ f^u: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{C} }[/math], определённая как

[math]\displaystyle{ f_u(a)=a^u }[/math]

является гомоморфизмом.

Экспоненциальное отображение является гомоморфизмом из группы вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] по сложению в группу ненулевых вещественных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{R}\setminus\{0\} }[/math] по умножению. Ядром является множество [math]\displaystyle{ \{0\} }[/math], а образ состоит из вещественных положительных чисел.

Экспоненциальное отображение также образует гомоморфизм из группы комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math] по сложению в группу ненулевых комплексных чисел [math]\displaystyle{ \mathbb{C}\setminus\{0\} }[/math] по умножению. Это отображение сюръективно, его ядром является множество [math]\displaystyle{ \{2\pi ki \in \mathbb{C} \mid \exists k \in \mathbb{Z}\} }[/math], как можно видеть из формулы Эйлера. Поля, подобные [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], имеющие гомоморфизм из группы по сложению в группу по умножению, называют экспоненциальными полями^[англ.].

Категории групп

Если h : G → H и k : H → K являются гомоморфизмами групп, то и k o h : G → K тоже гомоморфизм. Это показывает, что класс всех групп, вместе с гомоморфизмами групп в качестве морфизмов, образуют категорию.

Виды гомоморфных отображений

Если гомоморфизм h является биекцией, то можно показать, что обратное отображение тоже является гомоморфизмом групп, и тогда h называется изоморфизмом. В этом случае группы G и H называются изоморфными — они различаются только обозначением элементов и операции и идентичны для практического применения.

Если h: G → G является гомоморфизмом групп, мы называем его эндоморфизмом G. Если же оно и биективно, а следовательно, является изоморфизмом, оно называется автоморфизмом. Множество всех автоморфизмов группы G с композицией функций в качестве операции само образует группу, группу автоморфизмов G. Эта группа обозначается как Aut(G). Как пример, автоморфизм группы (Z, +) содержит только два элемента (тождественное преобразование и умножение на −1), и он изоморфен Z/2Z.

Эпиморфизм — это сюръективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм на. Мономорфизм — это инъективный гомоморфизм, то есть гомоморфизм один-к-одному.

Гомоморфизмы абелевых групп

Если группы [math]\displaystyle{ G }[/math] и [math]\displaystyle{ H }[/math] — абелевы (т.е. коммутативные) группы, то множество [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}(G, H) }[/math] всех гомоморфизмов из [math]\displaystyle{ G }[/math] в [math]\displaystyle{ H }[/math] само по себе является абелевой группой — сумма [math]\displaystyle{ h + k }[/math] двух гомоморфизмов определяется как

[math]\displaystyle{ (h + k)(u) = h(u) + k(u) }[/math] для всех [math]\displaystyle{ u }[/math] из [math]\displaystyle{ G }[/math].

Коммутативность [math]\displaystyle{ H }[/math] нужна для доказательства того, что [math]\displaystyle{ h + k }[/math] является снова гомоморфизмом групп.

Также гомоморфизмы совместимы с композицией гомоморфизмов в следующем смысле: если [math]\displaystyle{ f }[/math] принадлежит [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}(K, G) }[/math], [math]\displaystyle{ h }[/math], [math]\displaystyle{ k }[/math] являются элементами [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}(G, H) }[/math], и [math]\displaystyle{ g }[/math] принадлежит [math]\displaystyle{ \mathrm{Hom}(H, L) }[/math], то

[math]\displaystyle{ (h + k) \circ f = (h \circ f) + (k \circ f) }[/math] и [math]\displaystyle{ g \circ (h + k) = (g \circ h) + (g \circ k) }[/math].

Это показывает, что множество [math]\displaystyle{ \mathrm{End}(G) }[/math] всех эндоморфизмов абелевой группы образует кольцо, кольцо эндоморфизмов^[англ.] группы [math]\displaystyle{ G }[/math]. Например, кольцо эндоморфизмов абелевой группы, состоящее из прямой суммы^[англ.] [math]\displaystyle{ m }[/math] копий [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }[/math], изоморфно кольцу матриц [math]\displaystyle{ m \times m }[/math] с элементами из [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}/n\mathbb{Z} }[/math]. Упомянутая выше совместимость также показывает, что категория всех абелевых групп с гомоморфизмами образует предаддитивную категорию. Существование прямых сумм и ядер с хорошо обусловленным поведением делает эту категорию примером абелевой категории.

См. также

Фундаментальная теорема о гомоморфизмах^[англ.]

Ссылки

D. S. Dummit, R. Foote. Abstract Algebra. — 3. — Wiley, 2004. — С. 71-72. — ISBN 9780471433347.
Ленг С. Алгебра. — Москва: Мир, 1968.