Эндоморфизм

Эндоморфизм — морфизм объекта категории в себя, в контексте универсальной алгебры — гомоморфизм, отображающий алгебраическую систему в себя.

В любой категории композиция двух эндоморфизмов [math]\displaystyle{ X }[/math] также является эндоморфизмом, композиция ассоциативна и существует тождественный эндоморфизм. Отсюда следует, что все эндоморфизмы для объекта [math]\displaystyle{ X }[/math] образуют моноид, который обозначается [math]\displaystyle{ \operatorname{End}(X) }[/math] (или [math]\displaystyle{ \operatorname{End}_C(X) }[/math], чтобы подчеркнуть категорию [math]\displaystyle{ C }[/math]).

Обратимый эндоморфизм (обладающий свойствами изоморфизма) называется автоморфизмом. Множество автоморфизмов является подмножеством [math]\displaystyle{ \operatorname{End}(X) }[/math] с естественной структурой группы, оно обозначается [math]\displaystyle{ \operatorname{Aut}(X) }[/math].

Любые два эндоморфизма абелевой группы можно складывать по правилу [math]\displaystyle{ (f+g)(a)=f(a)+g(a) }[/math]. С определённым таким образом сложением эндоморфизмы любой абелевой группы образуют кольцо, называемое кольцом эндоморфизмов. Например, эндоморфизмы свободной абелевой группы [math]\displaystyle{ \mathbb Z^n }[/math] — это кольцо всех [math]\displaystyle{ n \times n }[/math] матриц с целыми коэффициентами. Эндоморфизмы векторного пространства или модуля также образуют кольцо, как и эндоморфизмы любого объекта предаддитивной категории. Эндоморфизмы коммутативного моноида образуют полукольцо, а эндоморфизмы некоммутативной группы образуют структуру, известную как почтикольцо.

Литература

• Nathan Jacobson. Basic algebra (неопр.). — 2nd. — Dover, 2009. — Т. 1. — ISBN 978-0-486-47189-1.
• Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.