Конечнопорождённая абелева группа

Конечнопорождённая абелева группа — абелева группа, заданная конечной системой образующих, то есть такая коммутативная группа [math]\displaystyle{ (G, +) }[/math], для которой существует конечный набор [math]\displaystyle{ x_1, \dots, x_s \in G }[/math], такой что [math]\displaystyle{ \forall x \in G }[/math] существует представление:

[math]\displaystyle{ x = n_1 x_1 + n_2 x_2 + \dots + n_s x_s }[/math],

где [math]\displaystyle{ n_1,\dots, n_s }[/math] — целые числа.

Конечнопорождённые абелевы группы имеют сравнительно простую структуру и могут быть полностью классифицированы, возможность свести к ним рассмотрение тех или иных объектов считается ценной. Примеры — целые числа [math]\displaystyle{ (\Z, +) }[/math] и числа по модулю [math]\displaystyle{ (\Z_n, +) }[/math], любая прямая сумма конечного числа конечнопорождённых абелевых групп также является конечнопорождённой абелевой группой. Согласно теореме о классификации, других (с точностью до изоморфизма) конечнопорождённых абелевых групп нет. Например, группа [math]\displaystyle{ (\Q, +) }[/math] рациональных чисел не является конечнопорожденной: если бы существовала порождающая система [math]\displaystyle{ x_1, \dots, x_s \in \Q }[/math], то достаточно было бы взять натуральное число [math]\displaystyle{ w }[/math], взаимно простое со всеми знаменателями чисел из системы, чтобы получить [math]\displaystyle{ 1/w }[/math], не порождаемое системой [math]\displaystyle{ \{x_1, \dots, x_s\} }[/math].

Классификация

Теорема о классификации конечнопорожденных абелевых групп (являющаяся частным случаем классификации конечнопорожденных модулей над областью главных идеалов) утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа [math]\displaystyle{ G }[/math] изоморфна прямой сумме простых циклических групп и бесконечных циклических групп, где простая циклическая группа — это такая циклическая группа, чей порядок является степенью простого числа. Что значит, что каждая такая группа изоморфна группе вида:

[math]\displaystyle{ \Z^n \oplus \Z_{m_1} \oplus \dots \oplus \Z_{m_t} }[/math],

где [math]\displaystyle{ n \geqslant 0 }[/math], и числа [math]\displaystyle{ m_1, \dots, m_t }[/math] являются (не обязательно различными) степенями простых чисел. Значения [math]\displaystyle{ n, m_1, \dots, m_t }[/math] однозначно определены (с точностью до порядка) группой [math]\displaystyle{ G }[/math], в частности, [math]\displaystyle{ G }[/math] конечна тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ n = 0 }[/math].

На основании того факта что [math]\displaystyle{ G_m }[/math] будет изоморфно произведению [math]\displaystyle{ G_j }[/math] и [math]\displaystyle{ G_k }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ j }[/math] и [math]\displaystyle{ k }[/math] взаимно просты и [math]\displaystyle{ m = j k }[/math], мы также можем представить любую конечнопорождённую группу [math]\displaystyle{ G }[/math] в форме прямой суммы

[math]\displaystyle{ \Z^n \oplus \Z_{k_1} \oplus \dots \oplus \Z_{k_u} }[/math],

где [math]\displaystyle{ k_1 }[/math] делит [math]\displaystyle{ k_2 }[/math], который делит [math]\displaystyle{ k_3 }[/math] и так далее до [math]\displaystyle{ k_u }[/math]. И снова, числа [math]\displaystyle{ n }[/math] и [math]\displaystyle{ k_1, \dots, k_u }[/math] однозначно заданы группой [math]\displaystyle{ G }[/math].

Литература

• Мельников О. В., Ремесленников В. Н., Романьков В. А. . Глава II. Группы // Общая алгебра / Под общ. ред. Л. А. Скорнякова. — М.: Наука, 1990. — Т. 1. — С. 66—290. — 592 с. — (Справочная математическая библиотека). — 30 000 экз. — ISBN 5-02-014426-6.