Перейти к содержанию

Группа Лоренца

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
(перенаправлено с «SO(3,1)»)

Гру́ппа Ло́ренца — группа преобразований Лоренца пространства Минковского, сохраняющих начало координат (то есть являющихся линейными операторами)[1].

Группа Лоренца состоит из однородных линейных преобразований координат четырёхмерного пространства-времени:

[math]\displaystyle{ x_\nu' = \sum_\mu L_{\nu\mu} x_\mu, }[/math]
[math]\displaystyle{ x_0 = ct,\quad x_1 = x,\quad x_2 = y,\quad x_3 = z, }[/math]

которые оставляют инвариантной квадратичную форму с сигнатурой (1, 3), которая является математическим выражением четырёхмерного интервала [math]\displaystyle{ s^2 = c^2 t^2 - x^2 -y^2 - z^2 }[/math][2]. В частности, группа Лоренца включает пространственные повороты в трёх плоскостях [math]\displaystyle{ xy,\ yz,\ zx }[/math], лоренцевы преобразования [math]\displaystyle{ xt,\ yt,\ zt }[/math], отражения пространственных осей [math]\displaystyle{ x, y, z }[/math]: [math]\displaystyle{ x \to -x,\ y \to -y,\ z \to -z }[/math] и все их произведения.

Группа Лоренца — частный случай неопределённой ортогональной группы[3], и поэтому обозначается [math]\displaystyle{ O(1, 3) }[/math] (либо [math]\displaystyle{ O(3, 1) }[/math], что соответствует квадратичной форме с противоположными знаками и переставленными координатами), [math]\displaystyle{ O(1, 3; \R) }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathrm{O}_{1,3}(\R) }[/math], а также [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math][2].

Специальная группа Лоренца или собственная группа Лоренца [math]\displaystyle{ SO(1, 3) }[/math] — подгруппа преобразований, определитель матрицы которых равен 1 (в общем случае он равен ±1).

Ортохронная группа Лоренца [math]\displaystyle{ O_\uparrow(1, 3) }[/math] (также обозначается [math]\displaystyle{ \mathrm{O}^+_{1,3}(\R) }[/math], и она может быть отождествлена с проективной (неопределённой) ортогональной группой[англ.] [math]\displaystyle{ \mathrm{PO}_{1,3}(\R) }[/math]), специальная (или собственная) ортохронная группа Лоренца [math]\displaystyle{ SO_\uparrow(1, 3) }[/math] — аналогично, но все преобразования сохраняют направление будущего во времени (знак координаты [math]\displaystyle{ x^0 }[/math]). Группа [math]\displaystyle{ SO_\uparrow(1, 3) }[/math], единственная из четырёх, является связной и изоморфна группе Мёбиуса.

Иногда условие ортохронности включают в определение группы Лоренца, в этом случае группа, включающая преобразования, которые меняют направление времени, может называться общей группой Лоренца[4][5]. Иногда также под группой Лоренца подразумевают собственную ортохронную группу Лоренца[6].

Представления группы Лоренца

Симметрия в физике
Преобразование Соответствующая
инвариантность 		Соответствующий
закон
сохранения
↕ Трансляции времени Однородность
времени 		…энергии
⊠ C, P, CP и T-симметрии Изотропность
времени 		…чётности
↔ Трансляции пространства Однородность
пространства 		…импульса
↺ Вращения пространства Изотропность
пространства 		…момента
импульса
⇆ Группа Лоренца (бусты) Относительность
Лоренц-ковариантность 		…движения
центра масс
~ Калибровочное преобразование Калибровочная инвариантность …заряда

Пусть физическая величина (например, четырёхмерный вектор энергии-импульса или потенциал электромагнитного поля) описывается многокомпонентной функцией координат [math]\displaystyle{ U_\alpha(x) }[/math]. При переходе из одной инерциальной системы отсчёта к другой компоненты физической величины линейно преобразуются друг через друга: [math]\displaystyle{ u_\beta' = \sum_\alpha \Lambda_{\beta\alpha} u_\alpha(x) }[/math]. При этом матрица [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] имеет ранг [math]\displaystyle{ \nu }[/math], равный числу компонент величины [math]\displaystyle{ u_\alpha }[/math]. Каждому элементу группы Лоренца [math]\displaystyle{ P }[/math] соответствует линейное преобразование [math]\displaystyle{ \Lambda(P) }[/math], единичному элементу группы Лоренца (тождественному преобразованию) соответствует единичное преобразование [math]\displaystyle{ \Lambda = 1 }[/math], а произведению двух элементов группы Лоренца [math]\displaystyle{ P_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ P_2 }[/math] соответствует произведение двух преобразований [math]\displaystyle{ \Lambda(P_1 P_2) = \Lambda(P_1) \Lambda(P_2) }[/math]. Систему матриц с перечисленными свойствами называют линейным представлением группы Лоренца.[7]

Представления группы Лоренца в комплексных линейных пространствах очень важны для физики, так как связаны с понятием спина. Все неприводимые представления специальной ортохронной группы Лоренца [math]\displaystyle{ SO_\uparrow(1, 3) }[/math] можно построить при помощи спиноров.

Примечания

  1. ↑ Полупрямое произведение группы Лоренца и группы параллельных переносов пространства Минковского по историческим причинам называется группой Пуанкаре. С другой стороны, группа Лоренца содержит в качестве своей подгруппы группу вращений 3-мерного пространства.
  2. ↑ 2,0 2,1 С. И. Азаков, В. П. Павлов. Лоренца группа // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия (т. 1—2); Большая Российская энциклопедия (т. 3—5), 1988—1999. — ISBN 5-85270-034-7.
  3. ↑ Brian C. Hall. Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction. — Springer, 2003. — P. 7.
  4. ↑ Гельфанд, Минлос, Шапиро, 1958, с. 165—166.
  5. ↑ Ширков, 1980, с. 146.
  6. ↑ Naber, 2012, p. 19.
  7. ↑ Ширков, 1980, с. 147.

Литература

  • Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро З. Я. Представления группы вращений и группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 367 с.
  • Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т.  Современная геометрия: методы и приложения. — М.: Наука, 1986. — 760 с.
  • Любарский Г. Я.  Теория групп и её применение в физике. — М.: Физматгиз, 1958. — 355 с.
  • Наймарк М. А.  Линейные представления группы Лоренца. — М.: Физматгиз, 1958. — 376 с.
  • Исаев А. П., Рубаков В. А.  Теория групп и симметрий. Конечные группы. Группы и алгебры Ли. — М.: УРСС, 2018. — 491 с.
  • Фёдоров Ф. И.  Группа Лоренца. — М.: Наука, 1979. — 384 с.  (Излагается векторная параметризация группы Лоренца и её применение)
  • Artin, Emil. Geometric Algebra (англ.). — New York: Wiley, 1957.. See Chapter III for the orthogonal groups O(p, q).
  • Carmeli, Moshe. Group Theory and General Relativity, Representations of the Lorentz Group and Their Applications to the Gravitational Field (англ.). — McGraw-Hill, New York, 1977.. A canonical reference; see chapters 1-6 for representations of the Lorentz group.
  • Frankel, Theodore. The Geometry of Physics (2nd Ed.) (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2004.. An excellent resource for Lie theory, fiber bundles, spinorial coverings, and many other topics.
  • Fulton, William; & Harris, Joe. Representation Theory: a First Course (англ.). — New York: Springer-Verlag, 1991.. See Lecture 11 for the irreducible representations of SL(2,C).
  • Hall, G. S. Symmetries and Curvature Structure in General Relativity (англ.). — Singapore: World Scientific, 2004.. See Chapter 6 for the subalgebras of the Lie algebra of the Lorentz group.
  • Hatcher, Allen. Algebraic topology (англ.). — Cambridge: Cambridge University Press, 2002.. See also the online version. Дата обращения: 3 июля 2005. Архивировано 20 февраля 2012 года. See Section 1.3 for a beautifully illustrated discussion of covering spaces. See Section 3D for the topology of rotation groups.
  • Naber, Gregory. The Geometry of Minkowski Spacetime (англ.). — New York: Springer, 2012. — ISBN 978-1-4419-7838-7.. An excellent reference on Minkowski spacetime and the Lorentz group.
  • Needham, Tristam. Visual Complex Analysis (англ.). — Oxford: Oxford University Press, 1997.. See Chapter 3 for a superbly illustrated discussion of Möbius transformations.
  • Ширков Д. В. Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 527 с.

См. также

Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Группа_Лоренца&oldid=5841149