Представление группы

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Представле́ние гру́ппы — вообще говоря, любое действие группы. Однако чаще всего под представлением группы понимается линейное представление группы, то есть действие группы на векторном пространстве. Иными словами, представление группы — это гомоморфизм заданной группы в группу невырожденных линейных преобразований векторного пространства.

Представления групп позволяют свести многие теоретико-групповые задачи к задачам линейной алгебры. Представления групп также имеют приложения в теоретической физике, так как позволяют понять, как группа симметрии физической системы влияет на решения уравнений, описывающих эту систему.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ G }[/math] — заданная группа и [math]\displaystyle{ W }[/math] — векторное пространство. Тогда представление группы [math]\displaystyle{ G }[/math] — это отображение [math]\displaystyle{ A }[/math], ставящее в соответствие каждому элементу [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] невырожденное линейное преобразование [math]\displaystyle{ A_g: W \to W }[/math], причём выполняются свойства

[math]\displaystyle{ A_{gh} = A_g \, A_h, \ \, A_{g^{-1}} = A_g^{-1} \quad (\forall g,h\in G). }[/math]

Векторное пространство [math]\displaystyle{ W }[/math] называется в этом случае пространством представления [math]\displaystyle{ A }[/math]. Раздел математики, который изучает представления групп, называется теорией представлений (групп). Представление можно понимать как запись группы с помощью матриц или преобразований линейного пространства. Смысл использования представлений групп заключается в том, что задачи из теории групп сводятся к более наглядным задачам из линейной алгебры, зачастую допускающим решение вычислительного характера. Этим объясняется большая роль теории представлений в различных вопросах алгебры и других разделов математики. Например, одномерные представления симметрической группы [math]\displaystyle{ S_n }[/math] и знакопеременной группы [math]\displaystyle{ A_n }[/math] играют большую роль при доказательстве невозможности разрешения в радикалах алгебраического уравнения степени выше 4. В квантовой механике важную роль играют бесконечномерные (в которых векторное пространство — гильбертово) представления групп (в первую очередь группы Лоренца).

Связанные определения

  • Пусть [math]\displaystyle{ A\colon G\to\operatorname{Aut}(W) }[/math] есть представление группы [math]\displaystyle{ G }[/math], здесь [math]\displaystyle{ \operatorname{Aut}(W) }[/math] — группа невырожденных линейных преобразований (автоморфизмов) пространства [math]\displaystyle{ W }[/math]. Размерностью представления [math]\displaystyle{ A }[/math] называется размерность векторного пространства [math]\displaystyle{ (\dim W). }[/math]
  • Представления [math]\displaystyle{ A:G\to\operatorname{Aut}(W) }[/math] и [math]\displaystyle{ A'\colon G\to\operatorname{Aut}(W') }[/math] одной и той же группы [math]\displaystyle{ G }[/math] называются эквивалентными, если существует такой изоморфизм [math]\displaystyle{ C: W' \to W }[/math] векторных пространств, что [math]\displaystyle{ A'_g=C^{-1} A_g C \ (\forall g \in G). }[/math] Отсюда следует, в частности, что эквивалентные представления имеют одинаковую размерность. Обычно представления рассматриваются с точностью до эквивалентности.
  • Представление [math]\displaystyle{ A:G\to\operatorname{Aut}(W) }[/math] называется прямой суммой представлений [math]\displaystyle{ A^{(i)}:G\to\operatorname{Aut}(W_i), \ i=1,\ldots, n, }[/math] если [math]\displaystyle{ W=W_1\oplus \cdots \oplus W_n }[/math] (здесь знак [math]\displaystyle{ \oplus }[/math] означает прямую сумму векторных пространств), причём для каждого [math]\displaystyle{ g\in G }[/math] подпространство [math]\displaystyle{ W_i \subset W }[/math] инвариантно относительно преобразования [math]\displaystyle{ A_g: W\to W }[/math] и индуцированное ограничением [math]\displaystyle{ A }[/math] на [math]\displaystyle{ W_i }[/math] представление [math]\displaystyle{ G\to\operatorname{Aut}(W_i) }[/math] эквивалентно [math]\displaystyle{ A^{(i)}. }[/math]
  • Для данного представления [math]\displaystyle{ A\colon G\to\operatorname{Aut}(W) }[/math] отображение [math]\displaystyle{ \chi_A\colon g\to \mathrm{tr} A(g) }[/math] называется характером [math]\displaystyle{ A }[/math]; здесь [math]\displaystyle{ \mathrm{tr} }[/math] обозначает след.

Типы представлений

  • Представление называется точным, если ядро соответствующего гомоморфизма состоит лишь из единичного элемента.
  • Представление группы [math]\displaystyle{ G }[/math] называется приводимым, если в векторном пространстве [math]\displaystyle{ W }[/math] есть подпространство, отличное от нулевого и самого [math]\displaystyle{ W }[/math], инвариантное для всех преобразований [math]\displaystyle{ A_g: W \to W (\forall g \in G) }[/math]. В противном случае представление называется неприводимым, или простым (при этом представление на пространстве [math]\displaystyle{ W=\{0\} }[/math] не считается неприводимым). Теорема Машке утверждает, что конечномерные представления конечных групп над полем характеристики ноль (или положительной, но не делящей порядок группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.
  • Всякое неприводимое представление коммутативной группы над полем комплексных чисел одномерно. Такие представления называются характерами.
  • Представление называется регулярным, если [math]\displaystyle{ W }[/math] — пространство функций на группе [math]\displaystyle{ G }[/math] и линейное преобразование [math]\displaystyle{ A_g: W \to W }[/math] ставит в соответствие каждой функции [math]\displaystyle{ f(\omega), \ \omega \in G, }[/math] функцию [math]\displaystyle{ f(g\omega), \ \omega \in G }[/math]. Иными словами, регулярным называется естественное представление на групповом кольце группы.
  • Представление называется унитарным относительно некоторого эрмитова скалярного произведения в пространстве [math]\displaystyle{ W }[/math] над полем [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math], если все преобразования [math]\displaystyle{ A_g: W \to W (\forall g \in G) }[/math] являются унитарными. Представление называется унитаризуемым, если в векторном пространстве [math]\displaystyle{ W }[/math] (над полем [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]) множно ввести такое эрмитово скалярное произведение, относительно которого оно является унитарным. Любое представление конечной группы [math]\displaystyle{ G }[/math] унитаризуемо: достаточно выбрать в пространстве [math]\displaystyle{ W }[/math] произвольное эрмитово скалярное произведение [math]\displaystyle{ \langle x,y \rangle }[/math] и определить искомое эрмитово скалярное произведение формулой [math]\displaystyle{ (x,y) = \sum_{g\in G} \langle A_g(x),A_g(y) \rangle. }[/math]
  • Если [math]\displaystyle{ G }[/math] ― топологическая группа, то под представлением группы [math]\displaystyle{ G }[/math] обычно понимается непрерывное линейное представление [math]\displaystyle{ A }[/math] группы [math]\displaystyle{ G }[/math] в топологическом векторном пространстве [math]\displaystyle{ W }[/math]. Это значит, что непрерывно отображение из [math]\displaystyle{ G\times W }[/math] в [math]\displaystyle{ W }[/math], заданное как [math]\displaystyle{ (g,v)\mapsto A_gv }[/math][1].

Примеры

  • Унитарная группа U(1) может быть представлена как группа вращений двумерного пространства вокруг центра.
  • Представление симметрической группы [math]\displaystyle{ S_n }[/math] может быть получено следующим образом. Выберем в векторном пространстве [math]\displaystyle{ W }[/math] размерности [math]\displaystyle{ n }[/math] базис [math]\displaystyle{ e_1, \ldots, e_n }[/math]. Для каждой перестановки [math]\displaystyle{ g\in S_n: \ (1,\ldots,n) \mapsto (i_1,\ldots,i_n) }[/math] определим линейное преобразование [math]\displaystyle{ A_g: W \to W, }[/math] переводящее базисный вектор [math]\displaystyle{ e_k }[/math] в базисный вектор [math]\displaystyle{ e_{i_k}, }[/math] где [math]\displaystyle{ k=1,\ldots, n. }[/math] Таким образом получается [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное представление группы [math]\displaystyle{ S_n. }[/math]
  • Неприводимое двумерное представление группы [math]\displaystyle{ S_3 }[/math] можно получить, выбрав в плоскости [math]\displaystyle{ W }[/math] базис [math]\displaystyle{ e_1, e_2, }[/math] положив вектор [math]\displaystyle{ e_3=-(e_1+e_2) }[/math] и определив для каждой перестановки [math]\displaystyle{ g\in S_3: \ (1,2,3) \mapsto (i_1,i_2,i_3) }[/math] линейное преобразование [math]\displaystyle{ A_g: W \to W }[/math], переводящее [math]\displaystyle{ e_1 }[/math] в [math]\displaystyle{ e_{i_1} }[/math] и [math]\displaystyle{ e_2 }[/math] в [math]\displaystyle{ e_{i_2}. }[/math]
  • Присоединённое представление — представление группы Ли, действующее на соответствующей алгебре Ли.
  • Коприсоединённое представление — представление, сопряжённое[en] к присоединённому.

Вариации и обобщения

В более широком смысле под представлением группы может пониматься гомоморфизм группы в группу всех обратимых преобразований некоторого множества [math]\displaystyle{ X }[/math]. Например:

Ссылки

Примечания

  1. А. И. Штерн. Непрерывное представление // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.

Литература

Ссылки