Равномерная ограниченность

Равномерная ограниченность — свойство семейства вещественных функций [math]\displaystyle{ f_\alpha:X\to\R }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha\in A }[/math], [math]\displaystyle{ A }[/math] — некоторое множество индексов, [math]\displaystyle{ X }[/math] — произвольное множество, означающее, что все функции семейства ограничены одной константой [math]\displaystyle{ C }[/math].

[math]\displaystyle{ \exists C \gt 0 \; \forall \alpha \in A \; \forall x \in X \; |f_\alpha(x)|\leqslant C. }[/math]

Вариации и обобщения

Понятие равномерная ограниченности семейства функций обобщается на случай отображений в нормированные и полунормированные пространства: семейство отображений [math]\displaystyle{ f_\alpha:X\to Y }[/math], где [math]\displaystyle{ Y }[/math] — полунормированное пространство с полунормой [math]\displaystyle{ \Vert*\Vert }[/math], называется равномерно ограниченным, если существует такая постоянная [math]\displaystyle{ C \gt 0 }[/math], что для всех [math]\displaystyle{ \alpha\in A }[/math] и всех [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] выполняется неравенство

[math]\displaystyle{ \Vert f_\alpha(x)\Vert\leqslant C }[/math]

Равномерная ограниченность сверху (снизу) означает что существует такая постоянная [math]\displaystyle{ C\in\R }[/math], что для всех а [math]\displaystyle{ \alpha\in A }[/math] и всех [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] выполняется неравенство [math]\displaystyle{ f_\alpha(x)\leqslant C }[/math] (соответственно [math]\displaystyle{ f_\alpha(x)\geqslant C }[/math])

Понятие равномерной ограниченности снизу и сверху обобщается на случай отображений [math]\displaystyle{ f_\alpha:X\to Y }[/math] в упорядоченные в том или ином смысле множества.

См. также

• Принцип равномерной ограниченности — теорема Банаха-Штейнгауза