Бесконечное произведение

В математике для последовательности чисел [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,\dots }[/math] бесконечное произведение

[math]\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} a_n = a_1a_2a_3\dots }[/math]

определяется как предел частичных произведений [math]\displaystyle{ a_1a_2\dots a_n }[/math] при [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math]. Произведение называется сходящимся, когда предел существует и не равен нулю. Иначе произведение называется расходящимся. Случай, в котором предел равен нулю, рассматривается отдельно, для получения результатов, аналогичных результатам для бесконечных сумм.

Если все числа [math]\displaystyle{ a_1,a_2,a_3,\dots }[/math] положительны, то можно применить операцию логарифмирования. Тогда исследование сходимости бесконечного произведения сводится к исследованию сходимости числового ряда.

Cходимость

Если произведение сходится, тогда необходимо выполняется предельное равенство [math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}a_n=1 }[/math]. Следовательно, логарифм [math]\displaystyle{ \ln a_n }[/math] определён для всех [math]\displaystyle{ n }[/math], за исключением конечного числа значений, присутствие которых не влияет на сходимость. Исключая из последовательности [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math] это конечное число членов, получим равенство:

[math]\displaystyle{ \ln \prod_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \ln a_n, }[/math]

в котором сходимость бесконечной суммы в правой части равносильна сходимости бесконечного произведения в левой. Это позволяет переформулировать критерий сходимости бесконечных сумм в критерий сходимости бесконечных произведений. Для произведений, таких, что для любого [math]\displaystyle{ n }[/math] [math]\displaystyle{ a_n\geqslant 1 }[/math], обозначим [math]\displaystyle{ p_n=a_n-1 }[/math], тогда [math]\displaystyle{ a_n=p_n+1 }[/math] и [math]\displaystyle{ p_n\geqslant 0 }[/math], откуда следует неравенство:

[math]\displaystyle{ 1+\sum_{n=1}^{N} p_n \leqslant \prod_{n=1}^{N} \left( 1 + p_n \right) \leqslant \exp \left( \sum_{n=1}^{N}p_n \right) }[/math]

которое показывает, что бесконечное произведение [math]\displaystyle{ \prod_{n=1}^{\infty} a_n }[/math] сходится тогда и только тогда, когда сходится бесконечная сумма [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} p_n }[/math].

Примеры

Известные примеры бесконечных произведений, формулы для числа [math]\displaystyle{ \pi }[/math], открытые соответственно Франсуа Виетом и Джоном Валлисом:

[math]\displaystyle{ \frac{2}{\pi} = \frac{ \sqrt{2} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2}} }{ 2 } \cdot \frac{ \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}} }{ 2 } \cdots }[/math];

[math]\displaystyle{ \frac{\pi}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \prod_{n=1}^{\infty} \left( \frac{4n^2}{ 4n^2 - 1 } \right) }[/math].

Тождество Эйлера для дзета-функции

[math]\displaystyle{ \zeta(x) = \frac{1}{1 - 2^{-x}} \cdot\frac{1}{1 - 3^{-x}}\cdot \frac{1}{1 - 5^{-x}}\cdot \frac{1}{1 - 7^{-x}} \cdots = \prod_p \frac{1}{1 - p^{-x}} }[/math] ,

где произведение берётся по всем простым числам [math]\displaystyle{ \displaystyle p }[/math]. Это произведение сходится при [math]\displaystyle{ x \gt 1 }[/math].

Представление функции в виде бесконечного произведения

Основная статья: Теорема Вейерштрасса о целых функциях

В комплексном анализе известно, что синус и косинус могут быть разложены в бесконечное произведение многочленов

[math]\displaystyle{ \sin \pi z = \pi z\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \cos \pi z = \prod_{n=0}^\infty \left( 1 - \frac{4z^2}{(2n+1)^2} \right) }[/math]

Эти разложения являются следствием общей теоремы о том, что любая целая функция [math]\displaystyle{ f }[/math], имеющая не более чем счётное количество нулей [math]\displaystyle{ \{0\}\cup\{a_n\}\to\infty }[/math], где точка 0 — нуль порядка [math]\displaystyle{ \lambda }[/math], может быть представлена в виде бесконечного произведения вида

[math]\displaystyle{ f(z)=z^\lambda e^{h(z)}\prod_1^\infty\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\exp\left(\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n}\right) }[/math],

где [math]\displaystyle{ h }[/math] — некоторая целая функция, а неотрицательные целые числа [math]\displaystyle{ p_n }[/math] подобраны таким образом, чтобы ряд [math]\displaystyle{ \sum_1^\infty\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n+1} }[/math] сходился. При [math]\displaystyle{ p_n = 0 }[/math] соответственная множителю номер [math]\displaystyle{ n }[/math] экспонента опускается (считается равной [math]\displaystyle{ \exp(0) = 1 }[/math]).

Ссылки

• Infinite products from Wolfram Math World