Индекс подгруппы

Индекс подгруппы [math]\displaystyle{ H }[/math] в группе [math]\displaystyle{ G }[/math] ― число классов смежности в каждом (правом или левом) из разложений группы [math]\displaystyle{ G }[/math] по этой подгруппе [math]\displaystyle{ H }[/math] (в бесконечном случае ― мощность множества этих классов).

Индекс подгруппы [math]\displaystyle{ H }[/math] в группе [math]\displaystyle{ G }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ [G:H] }[/math].

Связанные определения

• Если число смежных классов конечно, то [math]\displaystyle{ H }[/math] называется подгруппой конечного индекса в [math]\displaystyle{ G }[/math].

Свойства

• Пересечение конечного числа подгрупп конечного индекса само имеет конечный индекс (теорема Пуанкаре).
• Произведение порядка подгруппы [math]\displaystyle{ H }[/math] на её индекс [math]\displaystyle{ [G:H] }[/math] равно порядку группы [math]\displaystyle{ G }[/math] (теорема Лагранжа).
  • Это соотношение имеет место как для конечной группы [math]\displaystyle{ G }[/math], так и в случае бесконечной [math]\displaystyle{ G }[/math] ― для соответствующих мощностей.
• Формула Дея — рекурсивная формула для выражения числа [math]\displaystyle{ N_n }[/math] подгрупп данного индекса данной группы [math]\displaystyle{ G }[/math] через число гомоморфизмов [math]\displaystyle{ H_n }[/math] из [math]\displaystyle{ G }[/math] в симметрическую группу [math]\displaystyle{ S_n }[/math].

  [math]\displaystyle{ N_n=\frac{H_n}{(n-1)!}-\sum_{i=1}^{n-1}\frac{N_i{\cdot}H_{n-i}}{(n-i)!} }[/math]

Литература

• Wilfried Imrich, On the number of subgroups of given index in [math]\displaystyle{ SL_2(\mathbb Z) }[/math], Archiv der Mathematik, December 1978, Volume 31, Number 1, 224-231