Треугольная матрица

Треуго́льная ма́трица — в линейной алгебре квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

Пример верхней треугольной матрицы

Основные определения

Верхняя треугольная матрица (или верхнетреугольная матрица) — квадратная матрица [math]\displaystyle{ A }[/math], у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю: [math]\displaystyle{ a_{ij}=0 }[/math] при [math]\displaystyle{ i\gt j }[/math]

Нижняя треугольная матрица (или нижнетреугольная матрица) — квадратная матрица [math]\displaystyle{ A }[/math], у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю: [math]\displaystyle{ a_{ij}=0 }[/math] при [math]\displaystyle{ i\lt j }[/math].

Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица [math]\displaystyle{ A }[/math], в которой все элементы на главной диагонали равны единице: [math]\displaystyle{ a_{jj}=1 }[/math].

Диагональная матрица является одновременно и верхней треугольной, и нижней треугольной.

Применение

Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Например, метод Гаусса решения СЛАУ основан на следующем результате:

• любую матрицу [math]\displaystyle{ A_{n\times n} }[/math] путём элементарных преобразований над строками и перестановок строк можно привести к треугольному виду.

Тем самым решение исходной СЛАУ сводится к решению системы линейных уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, что не представляет сложностей.

Существуют вариант этого метода (называемый компактной схемой метода Гаусса), основанный на следующих результатах:

• любую квадратную матрицу [math]\displaystyle{ A }[/math] с отличными от нуля ведущими главными минорами можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы [math]\displaystyle{ L }[/math] и верхней треугольной матрицы [math]\displaystyle{ U }[/math]: [math]\displaystyle{ A=LU }[/math] (см. LU-разложение), причём такое разложение единственно, если диагональные элементы одной из двух треугольных матриц заранее зафиксированы — например, можно потребовать, чтобы [math]\displaystyle{ L }[/math] была унитреугольной;
• любую невырожденную квадратную матрицу [math]\displaystyle{ A }[/math] можно представить в следующем виде: [math]\displaystyle{ PA = LU }[/math], где [math]\displaystyle{ P }[/math] — матрица перестановок (выбирается в процессе построения разложения) (см. LUP-разложение).

Свойства

• Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали (в частности, определитель унитреугольной матрицы равен единице).
• Множество невырожденных верхних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу, которая обозначается UT(n, k) или UT_n (k).
• Множество невырожденных нижних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу, которая обозначается LT(n, k) или LT_n (k).
• Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UT_n (k) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUT_n (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLT_n (k).
• Множество всех верхних треугольных матриц с элементами из ассоциативного кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижних треугольных матриц.
• Группа UT_n разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUT_n нильпотентна.

См. также

• Система линейных алгебраических уравнений
• Элементарные преобразования матрицы
• Единичная матрица
• Диагональная матрица

Литература

• Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. . Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984. — 320 с.
• Гантмахер Ф. Р. . Теория матриц. 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — 552 с. — ISBN 5-02-013722-7.
• Икрамов Х. Д. . Несимметричная проблема собственных значений. Численные методы. — М.: Наука, 1991. — 240 с. — ISBN 5-02-014462-2.