Факторалгебра

Эта статья — о конструкции для алгебр над полем. О факторалгебре в универсальной алгебре см. факторсистема.

Факторалгебра — понятие в общей алгебре, определяемое следующим образом.

Пусть [math]\displaystyle{ \mathrm{A} }[/math] — алгебра над полем [math]\displaystyle{ \mathrm{K} }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathrm{J} }[/math] — двусторонний идеал в алгебре [math]\displaystyle{ \mathrm{A} }[/math]. Рассматривая алгебру [math]\displaystyle{ \mathrm{A} }[/math] как кольцо, определим факторкольцо [math]\displaystyle{ \mathrm{A}/\mathrm{J} }[/math], которое можно превратить в алгебру над [math]\displaystyle{ \mathrm{K} }[/math], если определить в ней умножение на элементы поля [math]\displaystyle{ \mathrm{K} }[/math] по следующему правилу:

[math]\displaystyle{ k (a+\mathrm{J}) = ka + \mathrm{J}, \quad \forall k \in \mathrm{K}, \ \forall a \in \mathrm{A} }[/math].

Построенная таким образом алгебра [math]\displaystyle{ \mathrm{A}/\mathrm{J} }[/math] называется факторалгеброй алгебры [math]\displaystyle{ \mathrm{A} }[/math] по идеалу [math]\displaystyle{ \mathrm{J} }[/math].

Пример

Важный пример факторалгебры (в алгебре формальных степенных рядов от нескольких переменных) связан с определением кратности критической точки гладкой функции.

Связанные определения

Каноническим гомоморфизмом для алгебры [math]\displaystyle{ \mathrm{A} }[/math], связанным с данным идеалом [math]\displaystyle{ \mathrm{J} }[/math], для которого определена факторалгебра [math]\displaystyle{ \mathrm{A}/\mathrm{J} }[/math], называется гомоморфизм [math]\displaystyle{ \mathrm{A} \to \mathrm{A}/\mathrm{J} }[/math] с ядром [math]\displaystyle{ \mathrm{J} }[/math], определённый формулой [math]\displaystyle{ a \mapsto a+\mathrm{J}, \ \, \forall a\in \mathrm{A} }[/math].

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.