Преобразование Радона

Преобразование Радона — интегральное преобразование функции многих переменных, родственное преобразованию Фурье. Впервые введено в работе австрийского математика Иоганна Радона 1917 года.

Важнейшее свойство преобразования Радона — обратимость, то есть возможность восстанавливать исходную функцию по её преобразованию Радона.

Двумерное преобразование Радона

Двумерное преобразование Радона. В данном случае R(s,α) есть интеграл от f(x, y) вдоль прямой AA^'

Рассмотрение преобразования Радона удобно начать с простейшего случая функции двух переменных, к тому же, именно этот случай наиболее практически важен.

Пусть [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] функция двух действительных переменных, определённая на всей плоскости и достаточно быстро убывающая на бесконечности (так, чтобы соответствующие несобственные интегралы сходились). Тогда преобразованием Радона функции [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] называется функция

[math]\displaystyle{ R(s,\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(s\cos\alpha-z\sin\alpha,s\sin\alpha+z\cos\alpha)dz }[/math] (1)

Преобразование Радона имеет простой геометрический смысл — это интеграл от функции вдоль прямой, перпендикулярной вектору [math]\displaystyle{ \vec{n}=(\cos\alpha,\sin\alpha) }[/math] и проходящей на расстоянии [math]\displaystyle{ s }[/math] (измеренного вдоль вектора [math]\displaystyle{ \vec{n} }[/math], с соответствующим знаком) от начала координат.

Связь преобразования Радона и преобразования Фурье. Формула обращения

Рассмотрим двумерное преобразование Фурье от функции [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math]

[math]\displaystyle{ F(k_x,k_y)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x,y) e^{-i (k_x x + k_y y)} dx dy }[/math] (2)

Можно заметить, что показатель экспоненты в этом интеграле не изменяется, если мы двигаемся вдоль прямой, перпендикулярной вектору [math]\displaystyle{ \vec{k}=(k_x,k_y) }[/math], и изменяется наиболее быстро, если мы движемся вдоль этого вектора. Поэтому удобно перейти к новым переменным. Обозначим [math]\displaystyle{ \vec{k}=(k_x,k_y)=\omega(\cos\alpha,\sin\alpha) }[/math], мы выберем новые переменные [math]\displaystyle{ s=x\cos\alpha+y\sin\alpha, }[/math] [math]\displaystyle{ z=-x\sin\alpha+y\cos\alpha }[/math]. Сделав замену переменных в интеграле, получаем

[math]\displaystyle{ F(\omega\cos\alpha,\omega\sin\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} \left( \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(s\cos\alpha-z\sin\alpha, s\sin\alpha+z\cos\alpha) e^{-i\omega s} dz \right) ds }[/math]

то есть

[math]\displaystyle{ F(\omega\cos\alpha,\omega\sin\alpha)= \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-i\omega s} R(s,\alpha) ds }[/math] (3)

Таким образом, одномерное преобразование Фурье от преобразования Радона для функции [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] есть не что иное как двумерное преобразование Фурье от функции [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math].

Поскольку преобразование Фурье функции [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] существует (это необходимое исходное допущение), то существует и обратное преобразование Фурье от функции [math]\displaystyle{ F(\omega\cos\alpha,\omega\sin\alpha) }[/math]. Учитывая (3), можно заключить, что должно существовать и обратное преобразование Радона.

Формула обращения для двумерного преобразования Фурье, как известно, выглядит следующим образом

[math]\displaystyle{ f(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^2}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\infty}^{\infty} F(k_x,k_y) e^{i (k_x x + k_y y)} dk_x dk_y. }[/math]

Удобно переписать эту формулу в полярных координатах:

[math]\displaystyle{ f(x,y)=\frac{1}{(2\pi)^2}\int\limits_{0}^{\infty}\int\limits_0^{2\pi} e^{i \omega(x\cos\alpha+y\sin\alpha)}F(\omega\cos\alpha,\omega\sin\alpha) \omega d\alpha d\omega }[/math],

что, учитывая (3), даёт формулу обратного преобразования Радона:

[math]\displaystyle{ f(x,y)=\frac{1 }{(2\pi)^2} \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_{0}^{\infty} e^{i \omega(x\cos\alpha+y\sin\alpha)}\ \tilde{R}(\omega,\alpha) \omega d\omega d\alpha }[/math] (4),

где [math]\displaystyle{ \tilde{R}(\omega,\alpha)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} R(s,\alpha)e^{-i\omega s} ds }[/math].

Выражение (4), помимо того что является одним из вариантов записи обратного преобразования Радона, также определяет метод реконструкции [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] из её проекций [math]\displaystyle{ R(s,\alpha_i) }[/math], называемый специалистами методом Фурье-синтеза. Таким образом, в методе Фурье-синтеза сначала необходимо сформировать из большого количества одномерных Фурье-образов проекций по полярной сетке [math]\displaystyle{ \tilde{R}(\omega,\alpha_i) }[/math] двумерный спектр [math]\displaystyle{ \tilde{R}(\omega,\alpha) }[/math] (при этом используется теорема о центральном сечении), а затем выполнить обратное двумерное преобразование Фурье в полярной системе координат от [math]\displaystyle{ \tilde{R}(\omega,\alpha) }[/math]. Существуют и другие методы реконструкции [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] из [math]\displaystyle{ R(s,\alpha) }[/math]

Теорема о центральном сечении

Применим операцию прямого преобразования Фурье к преобразованию Радона от [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math]: [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} R(s,\alpha) e^{-i \omega s} ds = }[/math] [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x,y) \delta(s - x \cos\alpha - y \sin\alpha) dx dy \right) e^{-i \omega s} ds }[/math]

Перестановка порядка интегрирования и применение фильтрующего свойства дельта функции приводят к формулировке теоремы о центральном сечении: [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} R(s,\alpha) e^{-i \omega s} ds = }[/math] [math]\displaystyle{ \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \left( \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega s} \delta(s - x \cos\alpha - y \sin\alpha) ds \right) f(x,y) dx dy = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{-\infty}^{\infty} f(x,y) e^{-i \omega (x \cos\alpha + y \sin\alpha)} dx dy }[/math]

Из последнего равенства, в частности, следует, что Фурье-образ проекции [math]\displaystyle{ R(s,\alpha) }[/math] представляет собой спектр функции [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math] вдоль прямой, проходящей через начало координат в частотной плоскости под углом [math]\displaystyle{ \alpha + \pi/2 }[/math]. Таким образом, Фурье-образ проекции является центральным сечением двумерного Фурье-образа функции [math]\displaystyle{ f(x,y) }[/math]. В литературе это свойство называют теоремой о центральном слое или центральном сечении.

Применение преобразования Радона

Схема получения рентгеновской томограммы

В компьютерной рентгеновской томографии линейка детекторов измеряет поглощение исследуемым объектом параллельного пучка излучения (например, рентгеновских лучей в медицинской томографии, сейсмических волн в геофизической томографии). В соответствии с законом Бугера-Ламберта-Бера интенсивность излучения, измеряемая детектором в точке s линейки пропорциональна [math]\displaystyle{ \exp\left\{-\int\limits_{AA'}\rho(x,y) dz\right\} }[/math], где [math]\displaystyle{ \rho(x,y) }[/math] показатель поглощения вещества объекта для данного типа излучения, а интеграл берётся вдоль прямой [math]\displaystyle{ AA' }[/math], проходящей через данный детектор и перпендикулярной линейке детекторов (z — координата на этой прямой). Соответственно, логарифм от интенсивности, взятый с обратным знаком, даёт преобразование Радона от показателя поглощения. Вращая систему из источника излучения и детектора вокруг объекта (при этом оставаясь в одной плоскости), или вращая сам объект вокруг оси, перпендикулярной плоскости, показанной на рисунке, получают множество луч-сумм в выбранном срезе объекта. Затем, используя один из методов реконструкции, можно восстановить распределение показателя поглощения в любой точке прозондированной плоскости объекта.

Преобразования Радона подобным образом используются и в магнито-резонансной томографии.

Преобразование Радона для функции произвольного числа переменных

Преобразование Радона для функции двух переменных можно удобно переписать через интеграл по всему пространству с помощью дельта-функции Дирака:

[math]\displaystyle{ R(s,\vec{n})=\int \delta(\vec{n} \vec{r}-s)f(\vec{r})d\vec{r} }[/math] (2)

Здесь [math]\displaystyle{ \vec{r}=(x,y) }[/math] — радиус-вектор из начала координат, [math]\displaystyle{ d\vec{r}=dx dy }[/math] — двумерный элемент объёма, [math]\displaystyle{ \vec{n} }[/math] — единичный вектор, который можно параметризовать как [math]\displaystyle{ \vec{n}=(\cos\alpha,\sin\alpha) }[/math]. С помощью замены переменных легко убедиться, что определения преобразования Радона (1) и (2) полностью идентичны.

Формула (2) обобщается на случай произвольного числа измерений, для этого её даже не надо переписывать, достаточно под [math]\displaystyle{ \vec{r} }[/math], [math]\displaystyle{ dV }[/math] и [math]\displaystyle{ \vec{n} }[/math] понимать соответственно [math]\displaystyle{ N }[/math]-мерный радиус-вектор из начала координат, элемент объёма в [math]\displaystyle{ N }[/math]-мерном пространстве и [math]\displaystyle{ N }[/math]-мерный единичный вектор. В принципе, вектор [math]\displaystyle{ \vec{n} }[/math] можно параметризовать углами в пространстве любого числа измерений. Например, в трёхмерном пространстве имеется параметризация [math]\displaystyle{ \vec{n}=(\sin\theta\cos\alpha,\sin\theta\sin\alpha,\cos\theta) }[/math].

Геометрический смысл преобразования Радона в многомерном случае: интеграл от функции по гиперплоскости, перпендикулярной вектору [math]\displaystyle{ \vec{n} }[/math] и проходящей на расстоянии [math]\displaystyle{ s }[/math] от начала координат (взятом со знаком минус, если перпендикуляр из начала координат на плоскость противоположно направлен с вектором [math]\displaystyle{ \vec{n} }[/math]).

Обращение многомерного преобразования Радона

В многомерном случае преобразование Радона достаточно хорошей функции тоже обратимо. Рассмотрим преобразование Фурье от [math]\displaystyle{ R(s,\vec{n}) }[/math] по переменной [math]\displaystyle{ s }[/math], то есть

[math]\displaystyle{ \int R(s,\vec{n})e^{-is\omega}ds }[/math].

Используя формулу (2) и свойства дельта-функции мы получим:

[math]\displaystyle{ \int R(s,\vec{n})e^{-is\omega}ds=\int f(\vec{r})e^{-i\vec{r}\vec{n}\omega}d\vec{r} }[/math].

Заметим теперь, что [math]\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}\omega^{N-1} d\omega\int d\vec{n} }[/math] есть интеграл по всему [math]\displaystyle{ N }[/math]-мерному пространству (здесь под интегралом [math]\displaystyle{ \int d\vec{n} }[/math] подразумевается интеграл по [math]\displaystyle{ (N-1) }[/math]-мерной сфере, в частности, для [math]\displaystyle{ N=2 }[/math] [math]\displaystyle{ \int d\vec{n}=\int\limits d\alpha }[/math], для [math]\displaystyle{ N=3 }[/math] [math]\displaystyle{ \int d\vec{n}=\int\limits d\phi\cos\theta d\theta }[/math]). Из этого следует, что

[math]\displaystyle{ \int\limits_{0}^{\infty}\frac{\omega^{N-1}d\omega}{(2\pi)^N}\int d\vec{n} e^{i(\vec{r}'-\vec{r})\omega\vec{n}}=\delta(\vec{r}-\vec{r}') }[/math].

Используя это представление векторной дельта-функции, получаем формулу обращения:

[math]\displaystyle{ f(\vec{r}')=\int d\vec{n}\int\limits_0^{\infty}\frac{\omega^{N-1}d\omega}{(2\pi)^N}e^{i\vec{r}'\vec{n}\omega}\int ds e^{-is \omega}R(s,\vec{n}) }[/math].

См. также

• Формула Крофтона
• Преобразование Хафа

Литература

• Грузман И. С. Математические задачи компьютерной томографии // Соросовский образовательный журнал № 5, 2001.
• Deans S. R. The Radon Transform and Some of Its Applications. — New York: John Wiley & Sons, 1983.
• Natterer F. The Mathematics of Computerized Tomography (Classics in Applied Mathematics, 32). — Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. — ISBN 0-89871-493-1.
• Natterer F., Wubbeling F. Mathematical Methods in Image Reconstruction. — Philadelphia, PA: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2001. — ISBN 0-89871-472-9.