Список интегралов от обратных тригонометрических функций

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от обратных тригонометрических функций.

Арксинус

[math]\displaystyle{ \int \arcsin x \,dx = x \arcsin x + \sqrt{1-x^2} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \arcsin \frac{x}{a} \,dx = x \arcsin \frac{x}{a} + \sqrt{a^2-x^2} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x \arcsin \frac{x}{a} \,dx = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{a^2}{4} \right) \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x}{4} \sqrt{a^2-x^2} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x^2 \arcsin \frac{x}{a} \,dx = \frac{x^3}{3} \arcsin \frac{x}{a} + \frac{x^2+2a^2}{9} \sqrt{a^2-x^2} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x^n \arcsin x \,dx = \frac{1}{n + 1} \left( x^{n + 1} \arcsin x + \frac{x^n \sqrt{1 - x^2} - n x^{n - 1} \arcsin x}{n - 1} + n \int x^{n - 2} \arcsin x \, dx \right) }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \cos^n x \arcsin x \,dx = \left( x^{n^2 + 1} \arccos x + \frac{x^n \sqrt{1 - x^4} - n x^{n^2 - 1} \arccos x}{n^2 - 1} + n \int x^{n^2 - 2} \arccos x \,dx \right) }[/math]

Арккосинус

[math]\displaystyle{ \int \arccos x \,dx = x \arccos x - \sqrt{1 - x^2} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \arccos \frac{x}{a} \,dx = x \arccos \frac{x}{a} - \sqrt{a^2 - x^2} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x \arccos \frac{x}{a} \,dx = \left( \frac{x^2}{2} - \frac{a^2}{4} \right) \arccos \frac{x}{a} - \frac{x}{4} \sqrt{a^2 - x^2} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x^2 \arccos \frac{x}{a} \,dx = \frac{x^3}{3} \arccos \frac{x}{a} - \frac{x^2 + 2a^2}{9} \sqrt{a^2 - x^2} + C }[/math]

Арктангенс

[math]\displaystyle{ \int \operatorname {arctg} \,x \,dx = x \,\operatorname {arctg} \,x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} \,dx = x \,\operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} - \frac{a}{2} \ln(1 + \frac{x^2}{a^2}) + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x \,\operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} \,dx = \frac{(a^2 + x^2) \,\operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} - a x}{2} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x^2 \,\operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} \,dx = \frac{x^3}{3} \,\operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} - \frac{a x^2}{6} + \frac{a^3}{6} \ln({a^2 + x^2}) + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x^n \,\operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} \,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} \,\operatorname {arctg} \,\frac{x}{a} - \frac{a}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{a^2 + x^2} \,dx, \quad n \neq -1 }[/math]

Арккотангенс

[math]\displaystyle{ \int \operatorname {arcctg} \,x \,dx = x \,\operatorname {arcctg} \,x + \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} \,dx = x \,\operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} + \frac{a}{2} \ln(a^2 + x^2) + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x \,\operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} \,dx = \frac{a^2 + x^2}{2} \,\operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} + \frac{a x}{2} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x^2 \,\operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} \,dx = \frac{x^3}{3} \,\operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} + \frac{a x^2}{6} - \frac{a^3}{6} \ln(a^2 + x^2) + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x^n \,\operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} \,dx = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} \,\operatorname {arcctg} \,\frac{x}{a} + \frac{a}{n + 1} \int \frac{x^{n + 1}}{a^2 + x^2} \,dx, \quad n \neq -1 }[/math]

Арксеканс

[math]\displaystyle{ \int \arcsec x \,dx = x \arcsec x - \ln \left| x + x \sqrt{{x^2 - 1} \over x^2} \right| + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \arcsec \frac{x}{a} \,dx = x \arcsec \frac{x}{a} + \frac{x}{a |x|} \ln \left| x \pm \sqrt{x^2 - 1} \right| + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x \arcsec x \,dx = \frac{1}{2} \left( x^2 \arcsec x - \sqrt{x^2 - 1} \right) + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x^n \arcsec x \,dx = \frac{1}{n + 1} \left( x^{n + 1} \arcsec x - \frac{1}{n} \left[ x^{n - 1} \sqrt{x^2 - 1} + [1 - n] \left( x^{n - 1} \arcsec x + (1 - n) \int x^{n - 2} \arcsec x \,dx \right) \right] \right) }[/math]

Арккосеканс

[math]\displaystyle{ \int \operatorname {arccosec} \,x \,dx = x \,\operatorname {arccosec} \,x + \ln \left| x + x \sqrt{{x^2 - 1} \over x^2} \right| + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \,\operatorname {arccosec} \,\frac{x}{a} \,dx = x \,\operatorname {arccosec} \,\frac{x}{a} + {a} \ln{\left( \frac{x}{a} \left( \sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}} + 1 \right) \right)} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int x \,\operatorname {arccosec} \,\frac{x}{a} \,dx = \frac{x^2}{2} \,\operatorname {arccosec} \,\frac{x}{a} + \frac{a x}{2} \sqrt{1 - \frac{a^2}{x^2}} + C }[/math]