Список интегралов элементарных функций

Интегрирование — это одна из двух основных операций в математическом анализе. В отличие от операции дифференцирования, интеграл от элементарной функции может не быть элементарной функцией. Например, из теоремы Лиувилля следует, что интеграл от [math]\displaystyle{ e^{x^2} }[/math] не является элементарной функцией. Таблицы известных первообразных оказываются часто очень полезны, хотя сейчас и теряют свою актуальность с появлением систем компьютерной алгебры. На этой странице представлен список наиболее часто встречающихся первообразных.

[math]\displaystyle{ C }[/math] использована как произвольная константа интегрирования, которую можно определить, если известно значение интеграла в какой-нибудь точке. У каждой функции имеется бесконечное число первообразных.

Правила интегрирования функций

[math]\displaystyle{ \int Cf(x)\,dx = C\int f(x)\,dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx }[/math]

[math]\displaystyle{ \int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left(\int g(x)\,dx\right)\,df(x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \int f(ax+b)\,dx = {1 \over a} F(ax+b)\,+C }[/math]

Интегралы элементарных функций

Рациональные функции

[math]\displaystyle{ \int\!0\, dx = C }[/math] (первообразная от нуля есть константа, в любых пределах интегрирования интеграл от нуля равен нулю)

[math]\displaystyle{ \int\!a\,dx = ax +C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!x^n\,dx = \begin{cases} \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, & n \ne -1 \\ \ln \left|x \right| + C, & n=-1\end{cases} }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!{dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C = - {1 \over a}\,\operatorname{arcctg}\,\frac{x}{a} + C }[/math]

Доказательство

Сделаем замену [math]\displaystyle{ x=a\operatorname{tg}t }[/math], получим

[math]\displaystyle{ \int\!{dx \over {a^2+x^2}}=\int\!{d(a\operatorname{tg}t)\over a^2+(a\operatorname{tg}t)^2}={1\over a}\int\!{\cos^2t\over\cos^2t}dt={t\over a}+C={1\over a}\operatorname{arctg}{x\over a}+C. }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right| + C }[/math] («высокий логарифм»)

Логарифмы

[math]\displaystyle{ \int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|+ C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C = x\frac{\ln {x} - 1}{\ln b} + C }[/math]

Экспоненциальные функции

[math]\displaystyle{ \int\!e^x\,dx = e^x + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C }[/math]

Иррациональные функции

[math]\displaystyle{ \int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!{dx \over x\sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arcsec}\,{|x| \over a} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!{dx \over \sqrt{x^2 \pm a^2}} = \ln \left|{x + \sqrt {x^2 \pm a^2}}\right| + C }[/math] («длинный логарифм»)

[math]\displaystyle{ \int\!\sqrt{x^2+a^2}\,dx={1\over2} ({x}\sqrt{x^2+a^2}+{a}\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|)+C }[/math]

Доказательство

Пусть [math]\displaystyle{ a\lt 0 }[/math], предположим также, что [math]\displaystyle{ x\ge0 }[/math]. Воспользуемся гиперболическими функциями, сделаем замену [math]\displaystyle{ x=\sqrt{-a}\operatorname{ch} t, t\ge0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{align} \int \!\sqrt{x^2+a} dx &= \int \sqrt{(\sqrt{-a}\operatorname{ch} t)^2+a} d(\sqrt{-a}\operatorname{ch} t)=-a\int \sqrt{\operatorname{ch}^2 t-1}\operatorname{sh} t dt\\ &=-a\int\operatorname{sh}^2 tdt=-a\int {\operatorname{ch}2t-1\over2}dt={-a\over2}\left({\operatorname{sh}2t\over2}-t\right)+C_1\\ &={-a\over2}(\operatorname{sh}t\operatorname{ch}t-t)+C_1 \end{align} }[/math]

Но

[math]\displaystyle{ \operatorname{sh}t=\sqrt{\operatorname{ch}^2-1}=\sqrt{{x^2\over -a}-1}={\sqrt{x^2+a}\over\sqrt{-a}}, }[/math] [math]\displaystyle{ \operatorname{sh}t\operatorname{ch}t=x{\sqrt{x^2+a}\over -a}, }[/math] [math]\displaystyle{ e^t=\operatorname{sh}t+\operatorname{ch}t={x+\sqrt{x^2+a}\over \sqrt{-a}}. }[/math]

Поэтому

[math]\displaystyle{ t=\ln {x+\sqrt{x^2+a}\over \sqrt{-a}}. }[/math]

Отсюда, включая логарифм знаменателя последней дроби в константу C, получаем

[math]\displaystyle{ \int\!\sqrt{x^2+a}\,dx={x\over2}\sqrt{x^2+a}+{a\over2}\ln|x+\sqrt{x^2+a}|+C }[/math]

Если [math]\displaystyle{ x\lt 0 }[/math], то заменой [math]\displaystyle{ x=-t, t\gt 0 }[/math] сводим интеграл к уже рассмотренному случаю. Если же [math]\displaystyle{ a\gt 0 }[/math], то делаем замену [math]\displaystyle{ x=\sqrt{a}\operatorname{sh} t }[/math] и проводим рассуждения, аналогичные рассмотренному случаю^[1].

Тригонометрические функции

[math]\displaystyle{ \int\!\sin{x}\, dx = -\cos{x} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\cos{x}\, dx = \sin{x} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\operatorname{tg}\, {x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C }[/math]

Доказательство

[math]\displaystyle{ \int \!\operatorname{tg}\, {x} \, dx = \int \frac {\sin x} {\cos x} dx= - \int \frac {d (\cos x) } {\cos x} = - \ln | \cos x | + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\operatorname{ctg}\, {x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C }[/math]

Доказательство

[math]\displaystyle{ \int \!\operatorname{ctg}\, {x} \, dx = \int \frac {\cos x} {\sin x} dx= \int \frac {d (\sin x) } {\sin x} = \ln | \sin x | + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \operatorname{tg}\,{x}\right|} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\operatorname{cosec}{x} \, dx = -\ln{\left| \operatorname{cosec}{x} + \operatorname{ctg}\,{x}\right|} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\sec^2 x \, dx = \int\!{dx \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}\,x + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\operatorname{cosec}^2 x \, dx = \int\!{dx \over \sin^2 x} = -\operatorname{ctg}\,x + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\sec{x} \, \operatorname{tg}\,{x} \, dx = \sec{x} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\operatorname{cosec}{x} \, \operatorname{ctg}\,{x} \, dx = - \operatorname{cosec}{x} + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\!\sin^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\!\cos^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\!\operatorname{arctg}\,{x} \, dx = x \, \operatorname{arctg}\,{x} - \frac{1}{2}\ln{\left( 1 + x^2 \right)} + C }[/math]

Гиперболические функции

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{sh}\,x \, dx = \operatorname{ch}\,x + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{ch}\,x \, dx = \operatorname{sh}\,x + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{\operatorname{ch}^2\,x} = \operatorname{th}\,x + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{dx}{\operatorname{sh}^2\,x} = - \operatorname{cth}\,x + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{th}\,x \, dx = \ln |\operatorname{ch}\,x| + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{csch}\,x \, dx = \ln\left| \operatorname{th}\,{x \over2}\right| + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{sech}\,x \, dx = \operatorname{arctg}\,\operatorname{sh}\,x + C }[/math]

также [math]\displaystyle{ \int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg}\, (e^x) + C }[/math]

также [math]\displaystyle{ \int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg} \, \left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{cth}\,x \, dx = \ln|\operatorname{sh}\,x| + C }[/math]

Доказательства

Доказательство формулы [math]\displaystyle{ \int \operatorname{sech}\,x \, dx = \operatorname{arctg}\operatorname{sh}\,x + C }[/math]:

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{sech}\, x \,dx = \int{dx\over\operatorname{ch}x} =\int{\operatorname{ch}x\over\operatorname{ch}^2x}dx=\int{d(\operatorname{sh}x)\over1+\operatorname{sh}^2x}=\operatorname{arctg}\operatorname{sh}x+C }[/math]

Доказательство формулы [math]\displaystyle{ \int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\operatorname{arctg}(e^x) + C }[/math]: [math]\displaystyle{ \int \operatorname{sech}\,x \, dx = \int{dx\over\operatorname{ch} x}=2\int{dx\over e^x+e^{-x}}=2\int {d{e^x}\over 1+e^{2x}}=2\operatorname{arctg}(e^x) + C }[/math].

Доказательство формулы [math]\displaystyle{ \int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg}\,\left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C }[/math]:

[math]\displaystyle{ \begin{align} \int \operatorname{sech}\,x \, dx &= \int {1\over\operatorname{ch}x}dx =\int {dx\over\operatorname{sh}^2{x\over2}+\operatorname{ch}^2{x\over2}} =2\int{d({x\over2})\over\operatorname{ch}^2{x\over2}(1+\operatorname{th}^2{x\over2})}\\ &=2\int{d(\operatorname{th}{x\over2})\over1+\operatorname{th}^2{x\over2}}=2\, \operatorname{arctg}\,\left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C \end{align} }[/math]

Специальные функции

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{Ci}(x) \, dx = x \operatorname{Ci}(x) - \sin x }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{Si}(x) \, dx = x \operatorname{Si}(x) + \cos x }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{Ei}(x) \, dx = x \operatorname{Ei}(x) - e^x }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{li}(x) \, dx = x \operatorname{li}(x)-\operatorname{Ei}(2 \ln x) }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \frac{\operatorname{li}(x)}{x}\,dx = \ln x\, \operatorname{li}(x) -x }[/math]

[math]\displaystyle{ \int \operatorname{erf}(x)\, dx = \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi }}+x \operatorname{erf}(x) }[/math]

Примечания

↑ Виноградова И. А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. Кн. 1 / Под ред. В.А. Садовничего. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 187. — ISBN 5-06-003768-1.

Шаблон:Библиография для списков интегралов

[1] Виноградова И. А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. В 2 кн. Кн. 1 / Под ред. В.А. Садовничего. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 2000. — С. 187. — ISBN 5-06-003768-1.

[1]